UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie II

Sommersemester 2009

Blatt 8 Abgabe: Freitag, 19.06.2009, vor der Vorlesung

Seien X, Y Banachräume, S ∈ L(X) und T ∈ L(Y) Wir definieren die Operatoren L(T), R(T) und C(T, S) ∈ L(L(X, Y)) durch

L(T)A := T A,  R(S)A := AS  C(T, S)A := T A − AS

für alle A ∈ L(X, Y).

Aufgabe 1 Zeigen Sie folgende Aussagen:

(a) Für alle n ∈ ℕ und A ∈ L(X, Y) gilt:

C(T, S)^{n}(A) = ∑_{k=0}^{n} ( \begin{matrix}n \\ k \end{matrix} ) (−1)^{k} T^{n−k} A S^{k}.

(b) Für alle n ∈ ℕ und z ∈ ℂ gilt:

C(T − z, S − z)^{n} = C(T, S)^{n} und C(z − T, z − S)^{n} = (−1)^{n}C(T, S)^{n}.

Aufgabe 2 Seien X, Y Banachräume, N_{1} ∈ L(X) und N_{2} ∈ L(Y) mit N_{j}^{k} = 0 für k > n_{j} und j = 1, 2. Zeigen Sie, dass

C(N_{2}, N_{1})^{k}A = 0

für alle A ∈ L(X, Y) und hinreichend großes k > k_{0} aus ℕ gilt. Geben Sie eine Abschätzung für k_{0} an.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

      www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html