UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie II

Sommersemester 2009

Blatt 9 Abgabe: Freitag, 26.06.2009, vor der Vorlesung

Wir bezeichnen mit 𝔻 die offene Einheitskreisscheibe in ℂ und definieren den Operator T : L^{2}(𝔻) ⊕ L^{2}(𝔻) → L^{2}(𝔻) ⊕ L^{2}(𝔻) durch

T (f, g) = id_{𝔻} (f, g)

für alle (f, g) ∈ L^{2}(𝔻) ⊕ L^{2}(𝔻), wobei id_{𝔻} die Identität auf 𝔻 ist. Weiter sei der Raum H definiert durch

H = \overline{\{(φ, \frac{∂}{∂\overline{z}} ) | φ ∈ C_{c}^{1}(𝔻)\}}^{L^{2}(𝔻)⊕L^{2}(𝔻)}.

Ferner definieren wir den Operator S als Einschränkung von T auf dem Raum H, d.h.

S = T |_{H}∈ L(H).

Aufgabe 1 Zeigen Sie, dass S verallgemeinert skalar ist.

Aufgabe 2 Berechnen Sie die spektrale Kapazität.

Aufgabe 3* Zeigen Sie, dass S nicht normal ist.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

      www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html