UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie II

Sommersemester 2009

Blatt 11 Abgabe: Freitag, 10.07.2009, vor der Vorlesung

Wir bezeichnen mit \overline{𝔻} die abgeschlossene Einheitskreisscheibe in ℂ und definieren den Operator T : C(\overline{𝔻}) ⊕ C^{1}(\overline{𝔻}) → C(\overline{𝔻}) ⊕ C^{1}(\overline{𝔻}) durch

T (f, g) = (zf + z \frac{∂g}{∂\overline{z}} , zg)

für alle (f, g) ∈ C(\overline{𝔻}) ⊕ C^{1}(\overline{𝔻}), wobei z die Identität auf \overline{𝔻} ist.

Aufgabe 1

(a) Zeigen Sie, dass T zerlegbar ist.

(b) Berechnen Sie die spektrale Kapazität.

Aufgabe 2 Sei für a, b_{1}, b_{2} ∈ C(\overline{𝔻}) und c ∈ C^{1}(\overline{𝔻}) der Operator A definiert durch

A = [ \begin{matrix}a & b_{1} \frac{∂}{∂z} + b_{2} \frac{∂}{∂\overline{z}} + b_{3} \\ 0 & c \end{matrix} ] .

Weiter sei S definiert durch

S = [ \begin{matrix}z & 0 \\ 0 & z \end{matrix} ] .

Zeigen Sie, dass gilt

lim_{n→∞} ∥C(T, S)^{n}A∥^{\frac{1}{n}} = 0  und  lim_{n→∞} ∥C(S, T)^{n}A∥^{\frac{1}{n}} = 0.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

      www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html