UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie II

Sommersemester 2009

Blatt 12 Abgabe: Freitag, 17.07.2009, vor der Vorlesung

Sei X ein Banachraum und sei S ein Operator in L(X) mit Spektrum in 𝕋.

Aufgabe 1 Sei α ≥ 0 so, dass ∥S^{n}∥ = O(|n|^{α}) für n ∈ ℤ und |n| → ∞. Zeigen Sie, dass die Resolvente dann für |λ| ≠ 1 und |λ| → 1 folgende Bedingung erfüllt

∥R(λ; S)∥ = O (\frac{1}{||λ| − 1|^{β}} )

für β > α + 1.

Aufgabe 2 Sei

∥R(λ; S)∥ = O (\frac{1}{||λ| − 1|^{β}} )

für |λ| ≠ 1, |λ| → 1 und β ≥ 1. Zeigen Sie, dass dann

∥S^{n}∥ = O(|n|^{β})

für n ∈ ℤ und |n| → ∞ gilt.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

      www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html