UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Lokale Methoden in der Spektraltheorie II

Sommersemester 2009

Blatt 13 Abgabe: Freitag, 24.07.2009, vor der Vorlesung

Sei X ein Banachraum und seien S, T ∈ L(X).

Aufgabe 1 Sei T ein C^{∞}(ℝ)-skalarer Operator. Zeigen Sie, dass es ein k ∈ ℕ und ein C > 0 gibt, so dass für alle t ∈ ℝ gilt:

∥ exp(itT)∥ ≤ C(1 + |t|)^{k}.

Aufgabe 2 Seien S, T kommutierende C^{∞}(ℝ)-skalare Operatoren. Zeigen Sie, dass dann auch

S + T  und  S · T

C^{∞}(ℝ)-skalar sind.

Information:

• Dies ist das letzte bewertete Übungsblatt. Um einen Leistungsnachweis zu erwerben, müssen Sie eine mündliche Prüfung ablegen. Zur Terminvereinbarung setzen Sie sich bitte mit Herrn Albrecht in Verbindung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

      www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ss09/spektral/spektral-ueb.html