UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

�

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 1

Zunächst sollen einige elementare Aussagen aus der Linearen Algebra gezeigt werden. Wir gehen von folgender Situation aus: Sei 𝕂 ein Körper und sei

0 ⟶ E_{1} ⟶^{ι} E_{2} ⟶^{π} E_{3} ⟶ 0

eine kurze exakte Sequenz von 𝕂-Vektorräumen E_{1}, E_{2}, E_{3} und 𝕂-linearen Abbildungen ι, π, d.h. es gelte

ker ι = {0}, ran ι = ker π, ran π = E_{3}.

Seien weiter T_{j} : E_{j} → E_{j}, j = 1, 2, 3, 𝕂-lineare Abbildungen mit

ι ∘ T_{1} = T_{2} ∘ ι  und  π ∘ T_{2} = T_{3} ∘ π.

Offensichtlich gilt: Ist T_{2} injektiv (bzw. surjektiv) so gilt dies auch für T_{1} (bzw. für T_{3}).

Aufgabe 1. Zeigen Sie darüber hinaus die folgenden Aussagen:

(a) Sind die Abbildungen T_{1} und T_{3} injektiv (bzw. surjektiv), so ist auch T_{2} injektiv (bzw. surjektiv).

(b) Ist T_{1} surjektiv und T_{2} injektiv, so ist T_{3} injektiv.

(c) Ist T_{2} surjektiv und T_{3} injektiv, so ist T_{1} surjektiv.

In der nächsten Aufgabe wollen wir voraussetzen, dass in der obigen Situation 𝕂 der Körper ℂ der komplexen Zahlen ist, dass die Räume (E_{j}, ∥ · ∥_{j}), j = 1, 2, 3, Banachräume sind und dass die linearen Abbildungen ι, π, T_{1}, T_{2}, T_{3} stetig sind.

Aufgabe 2. Zeigen Sie: Die Vereinigung von je zwei der drei Spektren

σ(T_{1}), σ(T_{2}), σ(T_{3})

enthält das dritte.

Ist T ∈ L(E) ein stetiger linearer Operator auf einem Banachraum (E, ∥ · ∥) über 𝕂 := ℂ, so bezeichnen wir das Komplement der unbeschränkten Zusammenhangskomponente von σ(T) mit σ_{f}(T) und nennen σ_{f}(T) das volle Spektrum von T. Das volle Spektrum entsteht also aus dem Spektrum durch Hinzunahme aller “Löcher” von σ(T).

Ist F ein abgeschlossener unter T invarianter Unterraum von E, so bezeichnen wir mit T |_{F} ∈ L(F) die Restriktion von T auf F und mit T^{F} den von T auf dem mit der Quotientennorm versehenen Quotienteraum E/F induzierten stetigen linearen Operator (also mit T^{F} (x + F) := T x + F für alle x ∈ E).

Aufgabe 3. Sei T ∈ L(E) ein stetiger linearer Operator auf einem komplexen Banachraum (E, ∥·∥) und sei F ein abgeschlossener unter T invarianter Unterraum von E. Zeigen Sie:

(a) Für alle z ∈ ℂ mit |z| > ∥T ∥ gilt (z − T)^{−1}(F) ⊆ F.

(b) σ(T |_{F}) ⊆ σ_{f}(T).

(c) σ(T^{F}) ⊆ σ_{f}(T).

Hinweis zu (b): Erinnern Sie sich daran, dass die Resolventenfunktion

z ↦ (z − T)^{−1}

auf der Resolventenmenge komplex differenzierbar ist und wenden Sie den Identitätssatz in geeigneter Form an.

Aufgabe 4. Sei ℜ eine Banachalgebra mit Einselement 1. Zeigen Sie:

(a) Für alle x, y ∈ ℜ mit xy = yx gilt exp(x + y) = exp(x) exp(y).

(b) Für alle a, b, c ∈ ℜ gilt exp(a) b exp(c) = exp(L_{a} + R_{c})(b). Hierbei sind L_{a}, R_{c} ∈ L(ℜ) definiert durch

L_{a}(x) = ax  und  R_{c}(x) = xc  (x ∈ ℜ).

Aufgabe^{∗} 5. Sei (ℜ∥ · ∥) eine C^{∗}-Algebra mit Einselement 1. Zeigen Sie: Für x ∈ ℜ sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) x = x^{∗}, d.h. x ist hermitesch.

(b) ∥ exp(itx)∥ = 1 für alle t ∈ ℝ.

(c) ∥ exp(itx)∥ ≤ 1 für alle t ∈ ℝ.

Aufgabe^{∗} 6. Seien (ℜ_{1}, ∥ · ∥_{1}), (ℜ_{2}, ∥ · ∥_{2}) zwei C^{∗}-Algebren mit Einselementen 1_{ℜ_{1}}, 1_{ℜ_{2}} und sei Φ : ℜ_{1} → ℜ_{2} ein ∗-Homomorphismus mit Φ(1_{ℜ_{1}}) = 1_{ℜ_{2}}. Zeigen Sie, daß Φ dann stetig ist mit ∥Φ∥ = 1.

Abgabetermin: Donnerstag, 22.04.2010, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html

Informationen zum Erwerb eines Leistungsnachweises

Sie können zu dieser Vorlesung einen (benoteten) Leistungsnachweis erwerben. Die Voraussetzungen hierfür sind:

(a) erfolgreiche Teilnahme am Übungsbetrieb, d.h. • ernsthafte Bearbeitung von mindestens 60 % der gestellten Übungsaufgaben,

• mindestens 40 % aller erreichbaren Punkte,

• aktive Mitarbeit in der Übungsgruppe, und

(b) Bestehen der mündlichen Prüfung am Ende des Semesters.

Der Termin für diese mündliche Prüfung kann individuell mit mir vereinbart werden, sollte aber vor dem 16. September und nach Semesterende liegen.