UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 2

Aufgabe 1. Für T ∈ L(H), H ein Hilbertraum, sei |T | := (T^{∗}T)^{\frac{1}{2}} . Zeigen Sie:

(a) |T | ist der einzige positive Operator P mit der Eigenschaft, daß ∥P x∥ = ∥T x∥ für alle x ∈ H gilt.

(b) Ist T invertierbar, so gibt es genau einen unitären Operator U ∈ L(H) mit T = U|T |.

(c) Ist T normal, so gibt es einen unitären Operator U mit T = U|T | = |T |U.

Aufgabe 2. Seien (E, ∥ · ∥_{E}) und (F, ∥ · ∥_{F}) zwei Banachräume. Zeigen Sie:

(a) Ist A ∈ F(E, F) so gibt es ein n ∈ ℕ und x′_{1}, …, x′_{n} ∈ E′, y_{1}, …, y_{n} ∈ F mit

Ax = ∑_{j=1}^{n} x′_{j}(x)y_{j} für alle x ∈ E.

(b) Ist A ∈ F(E, F), so ist A′ ∈ F(F′, E′).

(c) Ist T ∈ Φ(E, F), so ist T′ ∈ Φ(F′, E′) und ind(T′) = − ind(T).

Aufgabe 3. Seien a_{0}, a_{1}, …, a_{n} ∈ C([0, 1]) und sei h ∈ C([0, 1] × [0, 1]). Zeigen Sie: Der durch

(T f)(t) := f^{(n+1)}(t)+∑_{j=0}^{n} a_{j}(t)f^{(j)}(t)+∫_{0}^{1} h(s, t)f^{(n+1)}(s)ds (f ∈ C^{(n+1)}([0, 1]), t ∈ [0, 1])

definierte Operator T : C^{(n+1)}([0, 1]) → C([0, 1]) ist ein Fredholmoperator. Berechnen Sie ind(T).

Aufgabe 4. Sei (E, ∥ · ∥) ein Banachraum und sei T ∈ L(E). Zeigen Sie: Ist T^{n} ∈ K(E) für ein n ∈ ℕ, so ist λ1_{E} − T für alle λ ∈ ℂ \ {0} ein Fredholmoperator vom Index 0.

Aufgabe^{∗} 5. Sei (E, ∥ · ∥) ein Banachraum. Ein Operator T ∈ L(E) heißt Riesz–Operator falls die Restklasse T + K(E) von T in Q(E) = L(E)/K(E) quasinilpotent ist.

(a) Zeigen Sie: T ∈ L(E) ist genau dann ein Riesz–Operator, wenn für alle 0 ≠ λ ∈ ℂ der Operator T_{λ} := λ1_{E} − T ein Fredholmoperator vom Index 0 ist.

(b) Geben Sie ein Beispiel eines Riesz–Operators T ∈ L(E) an, der kein kompakter Operator ist.

Abgabetermin: Donnerstag, 29.04.2010, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html