UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 3

Aufgabe 1. Bestimmen Sie den Gelfand-Raum der Sandwichalgebra

S(𝔻) = \{f ∈ C(\overline{𝔻}) : es gibt ein g ∈ A(𝔻) mit g|_{∂𝔻} = f|_{∂𝔻}\}.

Hierbei sei S(𝔻) versehen mit der sup–Norm.

Aufgabe 2. Berechnen Sie den Šilovrand der Sandwichalgebra aus Aufgabe 1

Im folgenden sei H := L^{2}(𝕋) der Raum der auf 𝕋 bezüglich des normalisierten Lebesgemaßes dm quadratintegrierbaren Funktionen versehen mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩ := ∫_{𝕋} f(z)\overline{g(z)}dm(z) = ∫_{−π}^{π} f(e^{it})\overline{g(e^{it})}\frac{dt}{2π} (f, g ∈ L^{2}(𝕋)).

Bekanntlich ist durch (e_{n})_{n∈ℤ} mit e_{n}(z) := z^{n} für alle z ∈ 𝕋, n ∈ ℤ eine Orthonormalbasis in H gegeben. Für f ∈ H und alle n ∈ ℤ bezeichnen wir mit f̂_{n} den n-ten Fourierkoeffizienten von f, so daß also f = ∑_{n∈ℤ} f̂_{n}e_{n} gilt. Wir definieren S : H → H durch

Sf := − ∑_{−∞}^{−1} f̂_{n}e_{n} + ∑_{n=0}^{∞} f̂_{n}e_{n} (f ∈ H).

Für a ∈ C(𝕋) sei M_{a} der normale Operator der Multiplikation mit a auf H. Bekanntlich hat dieser die Operatornorm ∥M_{a}∥ = ∥a∥_{𝕋}.

Aufgabe 3. Zeigen Sie: Für alle a ∈ C(𝕋) ist M_{a}S − SM_{a} ∈ K(H).

Hinweis: Berechnen Sie zunächst (M_{e_{m}}S − SM_{e_{m}})e_{n} für alle n, m ∈ ℤ und verwenden Sie, dass die trigonometrischen Polynome dicht in C(𝕋) liegen.

Aufgabe 4. Zeigen Sie: Sind a, b ∈ C(𝕋) und hat a^{2} − b^{2} keine Nullstelle in 𝕋, so ist M_{a} + M_{b}S ein Fredholmoperator.

Für Lipschitz-stetige Funktionen ϕ : 𝕋 → ℂ und z = e^{it} ∈ 𝕋 definieren wir

\frac{1}{iπ} ∫C\frac{ϕ(ζ)}{ζ − z} dζ := lim_{ε↘0} \frac{1}{iπ} ∫_{\{ζ∈𝕋;|ζ−z|≥ε\}} \frac{ϕ(ζ)}{ζ − z} dζ := lim_{δ↘0} \frac{1}{iπ} ∫_{[δ,2π−δ]} \frac{ie^{i(s+t)}ϕ(e^{i(s+t)})}{e^{i(s+t)} − e^{it}}ds

Aufgabe^{∗} 5. Zeigen Sie:

(a) \frac{1}{iπ} ∫C\frac{1}{ζ − z} dζ = 1.

(b) Für alle Lipschitz-stetigen Funktionen ϕ : 𝕋 → ℂ ist die Funktion

z ↦ \frac{1}{iπ} ∫C\frac{ϕ(ζ)}{ζ − z} dζ

stetig auf 𝕋.

(c) Für alle n ∈ ℤ, z ∈ 𝕋 gilt

(Se_{n})(z) = \frac{1}{iπ} ∫C\frac{e_{n}(ζ)}{ζ − z}dζ.

Abgabetermin: Donnerstag, 06.05.2010, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html