UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 4

Aufgabe 1. Sei B die Familie aller beschränkten Teilmengen eines lokalkonvexen Hausdorffraums (E, τ). Zeigen Sie:

(a) Eine Menge B in E ist genau dann τ-beschränkt, wenn es zu jeder τ-Nullumgebung U ein c > 0 gibt mit A ⊆ cU.

(b) A ⊆ B ∈ B ⟹ A ∈ B. Insbesondere sind also beliebige Durchschnitte von beschränkten Mengen beschränkt.

(c) A, B ∈ B ⟹ A ± B ∈ B.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass in der Situation von Aufgabe 1 weiter gilt:

(a) Endliche Vereinigungen von beschränkten Mengen sind beschränkt.

(b) Für jede beschränkte Menge B ∈ B ist auch die abgeschlossene, absolutkonvexe Hülle wieder beschränkt.

(c) Jede kompakte Teilmenge K ⊂ E ist beschränkt.

Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass in der Situation von Aufgabe 1 weiter gilt:

(a) Eine Menge A ⊂ E ist genau dann beschränkt, wenn für jede τ–stetige Halbnorm p gilt: sup_{a∈A} p(a) < ∞.

(b) Eine Menge B ⊂ E ist genau dann beschränkt, wenn für jede Halbnorm p_{α} eines die Topologie τ definierenden Halbnormensystems (p_{α})_{α∈A} gilt: sup_{b∈B} p_{α}(b) < ∞.

(c) Ist (F, τ_{F}) ein weiterer lokalkonvexer Hausdorffraum und ist T : E → F eine stetige lineare Abbildung so ist für alle B ∈ B die Menge T (B) in (F, τ_{F}) beschränkt.

Aufgabe 4. Seien K_{1} und K_{2} zwei absolutkonvexe und kompakte Teilmengen eines lokalkonvexen Hausdorffraums (E, τ). Zeigen Sie, dass dann auch die absolutkonvexe Hülle absconv(K_{1} ∪ K_{2}) von K_{1} ∪ K_{2} wieder τ-kompakt ist.

Aufgabe^{∗} 5. Zeigen Sie, dass mit den auf Blatt 3 eingeführten Bezeichnungen mit

a := \frac{1}{2}(e_{m} + e_{n}) und b := \frac{1}{2}(e_{m} − e_{n})

gilt

ind(M_{a} + M_{b}S) = n − m.

Hinweis: Berechnen Sie zunächst (M_{a} + M_{b}S)e_{k} für alle k ∈ ℤ. Führen Sie anschließend für M_{a} + M_{b}S die Fallunterscheidung in die Fälle n = m, m > n und m < n durch.

Abgabetermin: Donnerstag, 13.05.2010, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html