UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 6

Mit C_{2π}^{∞} bezeichnen wir den Raum aller 2π-periodischen ℂ-wertigen Funktionen auf ℝ. Versehen mit der durch das Halbnormensystem (p_{n})_{n∈ℕ} mit

p_{n}(f) := ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} sup_{t∈ℝ} |f^{(k)}(t)|, f ∈ C_{2π}^{∞}, n ∈ ℕ,

gegebenen Halbnormensystem ist C_{2π}^{∞} ein lokalkonvexer Hausdorffraum. Bezüglich der punktweisen Multiplikation ist C_{2π}^{∞} eine Algebra.

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) C_{2π}^{∞} ist vollständig und metrisierbar.

(b) Die Multiplikation (f, g) → fg ist stetig von C_{2π}^{∞} × C_{2π}^{∞} nach C_{2π}^{∞}.

Ein lokalkonvexer Hausdorffraum hat die Monteleigenschaft, falls in ihm jede beschränkte Teilmenge relativkompakt ist.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass C_{2π}^{∞} die Monteleigenschaft besitzt.

Mit s bezeichnen wir den Raum der schnell fallenden Folgen. Hierbei nennen wir eine komplexwertige Folge a = (a_{n})_{n=−∞}^{∞} schnell fallend, falls für alle k ∈ ℕ_{0} gilt:

q_{k}(a) := sup_{n∈ℤ} |a_{n}|(1 + |n|)^{k} < ∞.

Eine Folge a = (a_{n})_{n∈ℤ} heißt langsam wachsend, falls es ein k = k(a) ∈ ℝ gibt mit

sup_{n∈ℤ} |a_{n}|(1 + |n|)^{k} < ∞.

Aufgabe 3. Zeigen Sie dass s, versehen mit der durch das Halbnormensystem (q_{k})_{k∈ℕ_{0}} gegebenen lokalkonvexen Topologie, ein vollständiger und metrisierbarer lokalkonvexer Hausdorffraum ist.

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass der Raum aller langsam wachsenden Folgen identifiziert werden kann mit dem Dualraum s′ von s vermöge der Dualität

(a, b) ↦< a, b >:= ∑_{n=−∞}^{∞} a_{n}b_{n}

für alle langsam wachsenden Folgen a = (a_{n})_{n∈ℤ} und alle b = (b_{n})_{n∈ℤ} ∈ s.

Aufgabe^{∗} 5. Zeigen Sie, dass durch die Abbildung f ↦ (f̂_{n}) mit

f̂_{n} := \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(t)e^{int}dt , (f ∈ C_{2π}^{∞}, n ∈ ℤ)

ein topologischer Isomorphismus von C_{2π}^{∞} auf s gegeben ist.

Insbesondere besitzt also auch s die Monteleigenschaft.

Abgabe bis spätestens \underline{Mittwoch, den 02.06.2010}, in der Übungsstunde.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html