UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 7

Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass für alle k ∈ ℕ_{0} ∪ {∞} und alle nicht leeren offenen Mengen Ω ⊆ ℝ^{N} der Raum C^{k}(Ω) nicht normierbar ist.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass C^{∞}(Ω) mit Ω wie in Aufgabe 1 die Monteleigenschaft besitzt.

Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass S(ℝ^{N}) die Monteleigenschaft besitzt.

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass der Raum X := 𝕂^{ℕ_{0}}, versehen mit der Produkttopologie die Monteleigenschaft besitzt. Zeigen Sie, dass der Dualraum von X identifiziert werden kann mit dem Raum F aller finiten Folgen

F := {φ = (φ_{n})_{n=0}^{∞} ∈ 𝕂^{ℕ_{0}} ; φ_{n} ≠ 0 für höchstens endlich viele n ∈ ℕ_{0}}

vermöge der Dualität ⟨·, ·⟩ : X × F → 𝕂, die gegeben ist durch

⟨x, φ⟩ := ∑_{n=0}^{∞} x_{n}, φ_{n} (x = (x_{n})_{n=0}^{∞} ∈ X, φ = (φ_{n})_{n=0}^{∞} ∈ F).

Aufgabe^{∗} 5. Für k ∈ ℕ sei E_{k} der Raum aller Folgen a = (a_{n})_{n=0}^{∞}, so dass gilt:

p_{k}(a)^{2} := ∑_{n=0}^{∞} |a_{n}|^{2}(\frac{k + 1}{k + 2})^{n} < ∞.

Zeigen Sie:

(a) E_{k} ist ein Hilbertraum.

(b) Der Folgenraum E := ⋂_{k=1}^{∞} E_{k} ist - versehen mit dem Halbnormensystem (p_{k})_{k=1}^{∞} - ein vollständiger metrisierbarer lokalkonvexer Hausdorffraum.

Abgabe bis spätestens \underline{Mittwoch, den 09.06.2010}, in der Übungsstunde.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html