UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 8

Aufgabe 1. Ist (F, ∥ · ∥) ein Banachraum und K ⊂ F′ kompakt bezüglich σ(F′, F), so ist auch die σ(F′, F)-abgeschlossene absolutkonvexe Hülle von K wieder σ(F′, F)-kompakt.

Aufgabe 2. Seien (E, τ), K und f : K → E wie in Satz 7.1 und sei T : (E, τ) → (F, τ_{F}) eine stetige, lineare Abbildung von (E, τ) in einen weiteren lokalkonvexen Hausdorffraum (F, τ_{F}). Sei μ ein reguläres, abzählbar additives Borelmaß auf K. Zeigen Sie, daß dann das Integral ∫_{K} T (f(t)) dμ(t) existiert und daß gilt:

∫_{K} T (f(t)) dμ(t) = T ( ∫_{K} f dμ).

Aufgabe 3. Sei Ω ⊆ ℂ offen und sei Γ ein System von endlich vielen stückweise glatten Kurven. Zeigen Sie: Ist f eine auf Spur(Γ) stetige Funktion mit Werten in einem Banachraum (E, ∥ · ∥), so gilt

∥ ∫_{Γ} f(z) dz∥ ≤ L(Γ) max_{z∈Spur(Γ)} ∥f(z)∥.

Hierbei bezeichne L(Γ) die Länge des Kurvensystems Γ.

Aufgabe 4. Sei Ω ⊆ ℂ offen. Zeigen Sie:

(a) Eine Funktion f : Ω → E mit Werten in einem Banachraum (E, ∥ · ∥) ist genau dann auf Ω holomorph, wenn für jedes z ∈ Ω die Funktion f auf einer Kreisscheibe ≠ D ⊆ Ω mit Mittelpunkt z mit positivem Radius durch eine in allen Punkten aus D in (E, ∥ · ∥) konvergente Potenzreihe mit Koeffizienten in E dargestellt werden kann.

(b) Für jedes z ∈ Ω ist die Potenzreihe aus (a) sogar gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge der größten in Ω enthaltenen Kreisscheibe mit Mittelpunkt z konvergent.

Aufgabe^{∗} 5. Zeigen Sie, dass der Folgenraum E aus Aufgabe 5, Blatt 7, topologisch isomorph zum Raum O(𝔻) der auf 𝔻 holomorphen Funktionen ist.

Abgabe bis spätestens \underline{Mittwoch, den 16.06.2010}, in der Übungsstunde.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html