UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 9

Aufgabe 1. Seien (E, ∥ · ∥_{E}) und (F, ∥ · ∥_{F}) zwei Banachräume und seien T ∈ L(E), S ∈ L(F), A ∈ L(E, F) stetige, lineare Operatoren mit AT = SA und σ(T, E) ∩ σ(S, F) = ∅. Zeigen Sie, daß dann schon A = 0 gelten muß.

Aufgabe 2. Sei T ∈ L(E) ein stetiger linearer Operator auf einem Banachraum (E, ∥ · ∥), dessen Spektrum von der Gestalt σ(T, E) = σ_{1} ∪ σ_{2} ist mit abgeschlossenen, nicht leeren zueinander disjunkten Mengen σ_{1}, σ_{2} ⊂ ℂ. Zeigen Sie, daß es dann einen Operator P in der Bikommutantenalgebra von T gibt mit den folgenden Eigenschaften:

(a) P ≠ 0, 1 − P ≠ 0.

(b) P = P^{2}.

(c) σ(T |_{P (E)}, P (E)) = σ_{1} und σ(T |_{ker P} , ker P) = σ_{2}.

Aufgabe 3. Sei T ∈ L(E) ein stetiger linearer Operator auf einem Banachraum (E, ∥ · ∥)

(a) Für alle z ∈ ℂ \ σ(T, E) gilt

(z − T)^{−1} = \frac{1}{2πi} ∫_{Γ} \frac{1}{z − w} (w − T)^{−1} dw ,

wobei Γ ein σ(T, E) umlaufendes und in ℂ \ {z} verlaufendes Kurvensystem sei.

(b) Ist f eine in einer Umgebung Ω von σ(T, E) holomorphe Funktion, so gilt die folgende verallgemeinerte Cauchysche Integralformel:

Φ_{T}^{Ω}(f^{(n)}) = \frac{n!}{2πi} ∫_{Γ} f(z)(z − T)^{−n−1}dz .

Hierbei sei Γ ein σ(T, E) umlaufendes und in Ω verlaufendes Kurvensystem.

Aufgabe 4. Sei T ∈ L(E) ein stetiger linearer Operator auf einem Banachraum (E, ∥ · ∥) und sei Q ∈ L(E) ein mit T kommutierender, quasinilpotenter Operator. Zeigen Sie: σ(T, E) = σ(T + Q, E) und für alle z ∈ ℂ \ σ(T, E) gilt

(z − T − Q)^{−1} = ∑_{n=0}^{∞}(z − T)^{−n−1}Q^{n}

Aufgabe^{∗} 5. Seien E, T, Q wie in Aufgabe 4. Zeigen Sie: Für alle in einer offenen Umgebung Ω von σ(T, E) holomorphen Funktionen f ∈ O(Ω) gilt:

f(T + Q) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}f^{(n)}(T)Q^{n}.

Abgabe bis spätestens \underline{Mittwoch, den 23.06.2010}, in der Übungsstunde.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html