UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 10

Aufgabe 1. Bezeichne W die Wieneralgebra aller 2π-periodischen Funktionen f : ℝ → ℂ, die eine Darstellung der Form

f(t) = ∑_{n=−∞}^{∞} f̂_{n}e^{itn} (t ∈ ℝ)

mit

∥f∥_{W} := ∑_{n=−∞}^{∞} |f̂_{n}| < ∞

besitzen. Bezüglich der punktweisen Operationen der Addition, der Multiplikation und der Multiplikation mit Skalaren ist (W, ∥ · ∥_{W}) eine kommutative Banachalgebra. Bestimmen Sie die Menge Δ(W) aller (nicht trivialen) multiplikativen linearen Funktionale auf W.

Hinweis: Berechnen Sie zunächst das Spektrum von e_{1} in W mit e_{1}(t) := e^{it} für alle t ∈ ℝ.

Aufgabe 2. Sei W wie in Aufgabe 1 und sei f eine Funktion aus W. Zeigen Sie:

(a) Hat f keine Nullstellen, so hat auch die Funktion 1/f : z ↦ 1/f(z) eine absolut konvergente Fourierreihenentwicklung.

(b) Ist g eine auf einer offenen Obermenge von f(ℝ) holomorphe Funktion, so ist g ∘ f ∈ W.

Im folgenden sei H stets ein separabler, unendlich dimensionaler komplexer Hilbertraum. Ein linearer Operator T : H ⊇ D(T) → H heißt abschließbar, falls er eine abgeschlossene Erweiterung besitzt, d.h., falls es einen abgeschlossenen linearen Operator S : H ⊇ D(S) → H gibt mit D(T) ⊆ D(S) und mit Sx = T x für alle x ∈ D(T).

Aufgabe 3. Sei T : H ⊇ D(T) → H ein linearer Operator. Zeigen Sie:

(a) T ist genau dann abschließbar, wenn für jede Nullfolge (x_{n})_{n=1}^{∞} (bezüglich der Norm ∥ · ∥ von H) in D(T), für die die Bildfolge (T x_{n})_{n=1}^{∞} in H gegen einen Vektor y ∈ H konvergiert, schon y = 0 gilt.

(b) Ist T abschließbar so ist die Abschließung \overline{G(T)} des Graphen von T in H × H wieder Graph eines linearen Operators \overline{T} und für jede abgeschlossene Erweiterung S von T gilt T ⊆ \overline{T} ⊆ S. \overline{T} heißt dann die minimale abgeschlossene Erweiterung oder auch die Abschließung von T.

Aufgabe 4. Sei T : H ⊇ D(T) → H ein dicht definierter linearer Operator. Zeigen Sie:

(a) ker(T^{∗}) = ran(T)^{⊥} ∩ D(T^{∗}).

(b) Ist T abgeschlossen, so gilt ker(T) = ran(T^{∗})^{⊥} ∩ D(T).

Aufgabe^{∗} 5. Sei U : H ⊇ D(U) → H eine lineare Isometrie. Zeigen Sie: Ist einer der drei Räume D(U), ran U, G(U) abgeschlossen, so gilt dies auch für die beiden anderen.

Abgabe bis spätestens \underline{Mittwoch, den 30.06.2010}, in der Übungsstunde.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html