UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

�

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 11

Aufgabe 1. Sei h : ℂ → ℂ gegeben durch

h(z) := \frac{z − i}{z + i} (z ∈ ℂ).

und sei T = T^{∗} ∈ L(H) ein selbstadjungierter Operator. Zeigen Sie:

(a) Der Operator U := h(T) ist unitär mit 1 ∉ σ(U, H).

(b) Drücken Sie das Spektralmaß von U durch das von T aus.

(c) Ist umgekehrt U ∈ L(H) ein unitärer Operator mit 1 ∉ σ(U, H), so gibt es genau einen selbstadjungierten Operator T ∈ L(H) mit h(T) = U.

Aufgabe 2. Sei 𝔻 die offene Einheitskreisscheibe in ℂ. Der Hardy-Raum H^{2}(𝔻) ist definiert als

H^{2}(𝔻) := \{f ∈ O(𝔻) ; ∥f∥_{H^{2}(𝔻)} := sup_{0≤r<1} (\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} |f(re^{it})|^{2} dt)^{1/2} < ∞\}.

Zeigen Sie:

(a) ∥ · ∥_{H^{2}(𝔻)} ist eine Norm auf H^{2}(𝔻).

(b) Ist f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} eine Funktion in O(𝔻), dann ist f ∈ H^{2}(𝔻) genau dann, wenn ∑_{k=0}^{∞} |a_{k}|^{2} < ∞ ist und in diesem Fall ist ∥f∥_{H^{2}(𝔻)}^{2} = ∑_{k=0}^{∞} |a_{k}|^{2}. Insbesondere ist also H^{2}(𝔻) isometrisch isomorph zu ℓ^{2}(ℕ_{0}) und daher ein Hilbertraum.

(c) Zu jedem z_{0} ∈ 𝔻 existiert ein C(z_{0}) > 0, so daß |f(z_{0})| ≤ C(z_{0})∥f∥_{H^{2}(𝔻)} für alle f ∈ H^{2}(𝔻).

Aufgabe 3. Sei S ∈ L(H^{2}(𝔻)) der Shiftoperator, also

S : H^{2}(𝔻) ⟶ H^{2}(𝔻), (Sf)(z) := zf(z) (z ∈ 𝔻).

Zeigen Sie, daß S die Cayley-Transformierte des symmetrischen Operators

T : H^{2} ⊇ D(T) ⟶ H^{2}, (T f)(z) := i\frac{1 + z}{1 − z} f(z) (z ∈ 𝔻)

ist. T ist maximal symmetrisch und besitzt keine selbstadjungierte Erweiterung.

Aufgabe 4. Der Operator V sei auf H^{2}(𝔻) definiert als (V f)(z) := zf(z^{2}). Zeigen Sie, daß V eine Isometrie ist, welche die Cayley-Transformation eines abgeschlossenen symmetrischen Operators T : H^{2}(𝔻) ⊇ D(T) → H^{2}(𝔻) ist, dessen Defektindizes 0 und ∞ sind.

Aufgabe^{∗} 5. Sei Ω ⊆ ℝ^{N} offen und sei T : L^{2}(Ω) ⊇ C_{0}^{∞}(Ω) → L^{2}(Ω) ein duch

(T ϕ)(x) := ∑_{|α|≤m} a_{α}(x)\frac{∂^{|α|}ϕ}{∂x^{α}}(x) (ϕ ∈ C_{0}^{∞}(Ω), x ∈ Ω)

definierter linearer partieller Differentialoperator mit C^{∞}-Koeffizienten. Zeigen Sie, dass T abschließbar ist.

Abgabe bis spätestens \underline{Mittwoch, den 07.07.2010}, in der Übungsstunde.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html