UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis 2 (SS 2010)

Blatt 12

Im folgenden sei (H, ⟨·, ·, ⟩) ein Hilbertraum. Ein linearer Operator T : H ⊇ D(T) → H heißt

• beschränkt, falls gilt

lub(T) := sup{∥T x∥; x ∈ D(T), ∥x∥ ≤ 1} < ∞ .

• wesentlich selbstadjungiert, falls T symmetrisch ist und falls die Bilder von T ± i dicht in H liegen.

• nach unten halbbeschränkt, falls T symmetrisch ist und falls ein a ∈ ℝ existiert mit

∀x ∈ D(T) : ⟨T x, x⟩ ≥ a⟨x, x⟩ .

Aufgabe 1. Zeigen Sie: Ein symmetrischer Operator T : H ⊇ D(T) → H ist genau dann wesentlich selbstadjungiert, wenn seine Abschließung selbstadjungiert ist.

Aufgabe 2. Sei T : L^{2}([0, 1]) ⊇ D(T) → L^{2}([0, 1]) der durch

D(T) := {f ∈ C^{2}([0, 1]) ; f(0) = f′(0) = f(1) = f′(1) = 0} , T f := −f′′ (f ∈ D(T)),

definierte lineare Operator. Zeigen Sie:

(a) T ist nach unten halbbeschränkt.

(b) T ist nicht wesentlich selbstadjungiert.

Hinweis zu (b): Zeigen Sie, dass alle auf [0, 1] zweimal stetig differenzierbare Lösungen der Differentialgleichung

y′′ − iy = 0

orthogonal zu ran(T − i) sind.

Aufgabe 3. Zeigen Sie: Ist T : H ⊇ D(T) → H ein selbstadjungierter, linearer Operator so gilt ⟨T x, x⟩ ≥ 0 für alle x ∈ D(T) genau dann, wenn σ(T) ⊆ [0, ∞].

Aufgabe 4. Zeigen Sie: Ist T : H ⊇ D(T) → H ein symmetrischer Operator, zu dem es ein a ∈ ℝ gibt, so dass T −a injektiv mit dichtem Bild ist und so dass der inverse Operator (T − a)^{−1} : H ⊇ ran(T − a) → H beschränkt ist, so ist ran(T − z) dicht in H für alle z ∈ ℂ \ ℝ. Insbesondere ist T dann also wesentlich selbstadjungiert.

Hinweis: Sei also z ∈ ℂ \ ℝ beliebig und x ∈ ran(T − z)^{⊥}. Beachten Sie, dass es nach Voraussetzung zu x eine Folge (u_{n})_{n=1}^{∞} in ran(T − a) gibt mit x_{n} → x für n → ∞. Betrachten Sie das Verhalten von

⟨x_{n}, x_{n}⟩ + (a − z)⟨x_{n}, (T − a)^{−1}x_{n}⟩

für n → ∞.

Aufgabe^{∗} 5. Sei T : L^{2}(0, ∞) ⊇ D(T) → L^{2}(0, ∞) definiert durch

D(T) := {f ∈ C[0, ∞)∩L^{2}(0, ∞) ; f′ stückw. stetig, f(x) = 0 für alle hinreichend großen x > 0, f(0) = 0}

und

T f := \frac{1}{i}f′ für alle f ∈ D(T)).

Zeigen Sie: T ist ein injektiver, symmetrischer Operator mit dichtem Bild, der nicht selbstadjungiert ist.

Hinweise: Um die Dichtheit von ran(T) in L^{2}(0, ∞) zu zeigen, betrachten Sie für 0 < s < t die Funktionen u_{s,t} ∈ D(T) mit

u(x) := \begin{cases}x & für 0 < x < s \\ s & für s ≤ x ≤ t \\ s + t − x & für t < x < t + s \\ 0 & für x > t + s \end{cases}

und zeigen Sie für f ∈ (ran T)^{⊥} durch Übergang zu t → ∞

∫_{0}^{s} f(x) dx = 0 für alle s > 0.

Hieraus folgt bekanntlich f ≡ 0 fast überall. Zeigen Sie ferner, dass ran(T + i) nicht dicht liegen kann wegen exp ∈ ran(T + i)^{⊥}.

Dieses Beispiel zeigt, dass man in Aufgabe 4 nicht auf die Beschränktheitsforderung verzichten kann.

Abgabe bis spätestens \underline{Mittwoch, den 14.07.2010}, in der Übungsstunde.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ss10/fa2/uebungen.html