UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2006/2007

Blatt 10

Abgabe: Donnerstag, 11.01.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis III WS 06/07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (5+5=10 Punkte)

(a) Sei (H, ∥ · ∥) ein normierter Raum über 𝕂, für den die Parallelogrammgleichung

∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2(∥x∥^{2} + ∥y∥^{2})

für alle x, y ∈ H gilt. Zeigen Sie, dass durch

< x, y >:= \{ \begin{matrix}\frac{1}{4} (∥x + y∥^{2} − ∥x − y∥^{2}) & falls 𝕂 = ℝ \\ \frac{1}{4} (∥x + y∥^{2} − ∥x − y∥^{2} + i∥x + iy∥^{2} − i∥x − iy∥^{2}) & falls 𝕂 = ℂ \end{matrix}

ein Skalarprodukt auf H definiert wird mit ∥ · ∥ =< ·, · >^{\frac{1}{2}} .

(b) Sei (H, < , >) ein Prä-Hilbertraum und seien (x_{n})_{n∈ℕ} und (y_{n})_{n∈ℕ} zwei Folgen aus der Einheitskugel von H mit < x_{n}, y_{n} >→ 1 für n → ∞. Zeigen Sie, dass dann ∥x_{n} − y_{n}∥ → 0 für n → ∞.

Aufgabe 2 (8 Punkte) Betrachten Sie zu λ ∈ ℝ die Funktion

f_{λ} : ℝ → ℂ, f_{λ}(x) := e^{iλx}.

Zeigen Sie, dass auf X := LH {f_{λ}, λ ∈ ℝ} durch

< f, g >:= lim_{T →∞} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} f(x)\overline{g(x)}dx

ein Skalarprodukt gegeben ist.

Aufgabe 3 (5+5=10 Punkte) Sei 𝕂 = ℝ oder ℂ und E ein normierter 𝕂-Vektorraum. Orthogonalität zweier Elemente x, y ∈ E kann man mittels

x ⊥ y :⟺ ∥x∥ ≤ ∥x − ty∥ (1)

für alle t ∈ 𝕂 definieren. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) In einem Hilbertraum stimmen die natürlich gegebene Orthogonalität und die gerade definierte überein.

Bitte wenden!

(b) Versehen Sie ℝ^{2} mit der Maximumsnorm und bestimmen Sie alle x ∈ ℝ^{2} mit ∥x∥ = 1, die orthogonal im Sinne von Gleichung (1) zu (0, 1) sind. Zeigen Sie, dass aus x ⊥ y im Allgemeinen nicht y ⊥ x folgt und aus x ⊥ y_{1}, x ⊥ y_{2} im Allgemeinen nicht x ⊥ (y_{1} + y_{2}).

Aufgabe 4 (2+4+3+3=12 Punkte) Sei l^{1}(I) := L^{1}(I, � (I), μ), wobei μ das Zählmaß auf I ist. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) L^{1}(I, � (I), μ) = L^{1}(I, � (I), μ).

(b) Eine Funktion f : I → 𝕂 ist genau dann in l^{1}(I), wenn gilt

sup_{A∈F (I)} ∑_{i∈A} |f(i)| < ∞,

wobei F (I) die Menge aller endlichen Teilmengen von I sei.

(c) Ist f ∈ l^{1}(I), so ist f(i) ≠ 0 für höchstens abzählbar unendlich viele i ∈ I. (Hinweis: Betrachten Sie die Mengen A_{n} := \{i ∈ I : |f(i)| ≥ \frac{1}{n}\}.)

(d) Ist f ∈ l^{1}(I) und I_{f} := {i ∈ I : f(i) ≠ 0}, so gilt für jede Abzählung (i_{n})_{n=1}^{|I_{f} |} von I_{f}:

∫_{I} fdμ = ∑_{n=1}^{∞} f(i_{n}).

Aufgabe 5* (5 Punkte) Zeigen Sie, dass die Funktion φ : ℝ → ℝ mit

φ(x) := \{ \begin{matrix}e^{− \frac{1}{x}} & für x > 0 \\ 0 & für x < 0 \end{matrix}

in C^{∞}(ℝ) liegt.

Wir wünschen Ihnen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!