UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2006/2007

Blatt 11

Abgabe: Donnerstag, 18.01.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis III WS 06/07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (9 Punkte) Zeigen Sie, dass ein Unterraum M eines Hilbertraumes H genau dann dicht in H liegt, wenn M^{⊥} = {0} ist.

Aufgabe 2 (9 Punkte) Zeigen Sie die Bemerkung nach Folgerung 7.14 in der Vorlesung: In jedem normierten 𝕂-Vektorraum (E, ∥ · ∥) existiert zu jedem endlich dimensionalen Untervektorraum V und jedem x ∈ E eine Bestapproximation zu x aus V.

Die sogenannte Gram-Schmidt Orthonormalisierung wird durch den folgenden Satz beschrieben.

Satz Es sei (x_{n})_{n∈ℕ} eine linear unabhängige Folge in dem Prähilbertraum H. Dann gibt es eine orthonormale Folge (e_{n})_{n} in H, so dass

LH {e_{1}, …, e_{n}} = LH {x_{1}, …, x_{n}}

für n ∈ ℕ gilt. Die e_{n} sind bis auf einen Faktor λ_{n} ∈ 𝕂 mit |λ_{n}| = 1 eindeutig bestimmt.

Beweis Setze e_{1} := \frac{x_{1}}{∥x_{1}∥}. Bilde nun induktiv

x′_{n+1} := x_{n+1} − ∑_{ν=1}^{n} < x_{n+1}, e_{ν} > e_{ν}

e_{n+1} := \frac{x′_{n+1}}{∥x′_{n+1}∥}.

Da x_{n+1} ∉ LH {x_{1}, …, x_{n}} = LH {e_{1}, …, e_{n}}, ist x′_{n+1} ≠ 0. Offensichtlich stimmt die Eindeutigkeitsaussage für n = 1 und folgt induktiv für alle n ∈ ℕ. □

Aufgabe 3 (12 Punkte)

Der Vektorraum C([−1, 1]) wird mit dem Skalarprodukt < x, y >:= ∫_{−1}^{1} x(t)\overline{y(t)}dt zu einem

Prähilbertraum. Orthonormalisieren Sie mit dem Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren die Polynome 1, t, t^{2}, t^{3}, t^{4}.

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (10 Punkte) Betrachten Sie zu λ ∈ ℝ die Funktion

f_{λ} : ℝ → ℂ, f_{λ}(x) := e^{iλx}

und sei X := LH {f_{λ}, λ ∈ ℝ}. Nach Aufgabe 2 von Blatt 10 ist durch

< f, g >:= lim_{T →∞} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} f(x)\overline{g(x)}dx

ein Skalarprodukt auf X gegeben. Zeigen Sie, dass die Familie (f_{λ})_{λ∈ℝ} ein Orthonormalsystem in X ist.

Aufgabe 5* (6 Punkte) Sei H ein Hilbertraum und seien P_{1}, P_{2} Orthogonalprojektionen auf abgeschlossene Unterräume L_{1}, L_{2} von H. Zeigen Sie, dass P := P_{1} + P_{2} genau dann eine Orthogonalprojektion ist, wenn P_{1}P_{2} = P_{2}P_{1} = 0 ist.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws06 07/ana3/ana3.html