UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2006/2007

Blatt 13

Abgabe: Donnerstag, 01.02.2007 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis III WS 06/07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (5+5=10 Punkte) Zeigen Sie, dass für einen stetigen linearen Operator T auf einem Hilbertraum (H, ⟨·, ·⟩) gilt:

(a) ker T = (ran T^{∗})^{⊥}.

(b) ker T^{∗} = (ran T)^{⊥}.

Aufgabe 2 (9 Punkte) Sei P ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum (H, ⟨·, ·⟩) mit P^{2} = P. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) P ist orthogonale Projektion, d. h. es ist ran P ⊥ ran (1_{H} − P).

(ii) P = P^{∗}, d. h. P ist selbstadjungiert.

(iii) P ist positiv.

Aufgabe 3 (12 Punkte) Zeigen Sie, dass der Integraloperator

K_{k} : L^{2}(ℝ^{N}) → L^{2}(ℝ^{N}), (K_{k}f)(s) = ∫_{ℝ^{N}} k(s, t)f(t) dλ_{N}(t)

mit k ∈ L^{2}(ℝ^{2N}) kompakt ist. (Hinweis: Zeigen Sie, dass messbare Funktionen der Gestalt

k_{n}(s, t) = ∑_{i,j=1}^{n} α_{ij}χ_{A_{j}}(s)χ_{B_{j}}(t)

mit ∥k_{n} − k∥_{L^{2}} → 0 existieren und machen Sie eine Aussage über das Bild von K_{k_{n}}.)

Bitte wenden!

Aufgabe 4 (3+6=9 Punkte) Für f ∈ L^{2}([0, 1]) und x ∈ [0, 1] definieren wir

(V f)(x) := ∫_{0}^{x} f(t)dt.

(a) Zeigen Sie, dass die oben definierte Abbildung V linear und stetig von L^{2}([0, 1]) in sich ist.

(b) Berechnen Sie den zu V adjungierten Operator.

Aufgabe 5* (4 Punkte) Sei T : H_{1} → H_{2} ein kompakter Operator zwischen zwei Hilberträumen. Zeigen Sie, dass T^{∗}T kompakt, selbstadjungiert und positiv ist.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws06 07/ana3/ana3.html