UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2006/2007

Blatt 3

Abgabe: Donnerstag, 09.11.2006 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis III WS 06/07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (5+5=10 Punkte) Ein Maßraum (X, Σ, μ) heißt Wahrscheinlichkeitsraum, wenn μ(X) = 1. In dieser Situation wird das Maß μ oft mit P bezeichnet und heißt Wahrscheinlichkeitsmaß. Die Elemente von Σ nennt man auch Ereignisse.

Sei (X, Σ, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Für A, B ∈ Σ mit P (B) > 0 ist die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter B definiert als

P (A|B) := \frac{P (A ∩ B)}{P (B)}.

Sei (B_{n})_{n} eine Folge paarweise disjunkter Ereignisse mit P (B_{n}) > 0 für alle n ∈ ℕ und

X = ⋃_{n∈ℕ}B_{n}.

(a) Beweisen Sie die Formel von der totalen Wahrscheinlichkeit

P (A) = ∑_{n=1}^{∞} P (B_{n})P (A|B_{n}) (A ∈ Σ).

(b) Zeigen Sie: Ist A ∈ Σ derart, dass P (A) > 0, so gilt die Formel von Bayes

P (B_{n}|A) = \frac{P (B_{n})P (A|B_{n})}{∑_{k=1}^{∞} P (B_{k})P (A|B_{k})} (n ∈ ℕ).

Aufgabe 2 (4+4=8 Punkte) Beweisen oder widerlegen Sie, welche der folgenden Funktionen μ : � (ℝ) ↦ [0, ∞] Maße auf ℝ sind:

(a) μ(A) = \{ \begin{matrix}0, & A ∩ ℤ ≠ ∅ \\ 1, & sonst \end{matrix} .

(b) μ(A) = \{ \begin{matrix}∞, & A unbeschränkt \\ 0, & A beschränkt \end{matrix} .

Bitte wenden!

Aufgabe 3 (4+6=10 Punkte) Sei (X, Σ) ein messbarer Raum.

(a) Sei μ ein Maß auf X. Ist N eine μ-Nullmenge in X und ist C ⊂ X, so gilt:

μ(C ∪ N) = μ(C) = μ(C \ N).

(b) Seien f_{k} : X → 𝕂^{n} für k ∈ ℕ und f : X → 𝕂^{n} Funktionen und sei N ∈ Σ eine μ-Nullmenge. Sind alle f_{k} μ-messbar (k ∈ ℕ) und ist

f(x) = lim_{k→∞} f_{k}(x) (x ∈ X \ N),

so ist f μ-messbar.

Aufgabe 4 (6+6=12 Punkte) Sei μ das Zählmaß auf � (ℕ). Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Eine Funktion f : ℕ → ℝ ist genau dann eine Treppenfunktion, wenn es ein n_{0} ∈ ℕ gibt mit f(n) = 0 für alle n > n_{0}. In diesem Fall gilt

∫_{ℕ} fdμ = ∑_{n=0}^{n_{0}} f(n).

(b) Ist f : ℕ → ℝ eine Funktion, so dass die Reihe ∑_{n=0}^{∞} f(n) absolut konvergiert, so ist

f ∈ L^{1}(μ, ℝ) und es gilt

∫_{ℕ} fdμ = ∑_{n=0}^{∞} f(n).

Aufgabe 5* (5 Punkte) Sei μ das Zählmaß auf � (ℕ). Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 4

L^{1}(μ, ℝ) = {f : ℕ → ℝ | ∑_{n=0}^{∞} f(n) konvergiert absolut } .

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws06 07/ana3/ana3.html