UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2006/2007

Blatt 4

Abgabe: Donnerstag, 16.11.2006 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis III WS 06/07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (4x2=8 Punkte) Sei X eine Menge und seien A, B ⊆ X Teilmengen von X. Mit A△B sei die symmetrische Differenz bezeichnet. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) χ_{A∩B} = χ_{A} · χ_{B}.

(b) χ_{A∪B} = χ_{A} + χ_{B} − χ_{A} · χ_{B}.

(c) χ_{A\B} = χ_{A}(1 − χ_{B}).

(d) χ_{A△B} = |χ_{A} − χ_{B}|.

Aufgabe 2 (3+4+4=11 Punkte) Sei (X, Σ) ein messbarer Raum und seien f : X → ℝ, g : X → ℂ zwei Funktionen. Man definiert:

f^{+} := max(f, 0)  und  f^{−} := max(−f, 0).

Zeigen Sie:

(a) f μ-messbar ⟺ f^{+} und f^{−} μ-messbar.

(b) f ∈ L^{1}(μ, ℝ) ⟺ f^{+}, f^{−} ∈ L^{1}(μ, ℝ).

(c) g ∈ L^{1}(μ, ℂ) ⟺ Re g, Im g ∈ L^{1}(μ, ℝ).

Stellen Sie in (b) und (c) im Falle der Existenz die Integrale von f und g mit Hilfe der Integrale von f^{+} und f^{−} bzw. Re g und Im g dar.

Aufgabe 3 (6+5=11 Punkte) Sei Ω = (X, Σ, μ) ein Maßraum und sei f ∈ L^{1}(Ω, ℝ) mit f ≥ 0 μ-fast überall. Die Mengenfunktion μ_{f} : Σ → [0, ∞] sei definiert durch

μ_{f}(A) := ∫_{A} fdμ := ∫_{X} fχ_{A}dμ (A ∈ Σ).

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) μ_{f} ist ein Maß auf Σ mit μ_{f}(X) < ∞.

Bitte wenden!

(b) Ist g ∈ L^{1}(Ω, ℝ) mit g ≥ 0 μ-fast überall, so gilt:

f = g μ-fast überall  ⟺  μ_{f} = μ_{g}.

Aufgabe 4 (5+5=10 Punkte) Sei Ω = (X, Σ, μ) ein Maßraum und E ein Banachraum. Für f : X → E sei ∥f∥ : X → ℝ definiert durch

∥f∥(x) := ∥f(x)∥ (x ∈ E).

(a) Zeigen Sie: Für f ∈ M(Ω, E) ist ∥f∥ ∈ M(Ω, ℝ).

(b) Im Beweis von Lemma 2.12(d) der Vorlesung wurde gezeigt, dass ∥f∥ ∈ L^{1}(Ω, ℝ) ist, wenn f ∈ L^{1}(Ω, E). Zeigen Sie: Ist f ∈ L^{1}(Ω, E) mit

∫_{X} ∥f∥ dμ = 0,

so ist f = 0 μ-fast überall.

Aufgabe 5* (2+2=4 Punkte) Sei X eine Menge und seien A_{n} ⊆ X (n ∈ ℕ) Teilmengen von X. Der Limes superior und der Limes inferior sind definiert als

lim sup_{n→∞} A_{n} := {x ∈ X : x ∈ A_{n} für unendlich viele n ∈ ℕ},

lim inf_{n→∞} A_{n} := {x ∈ X : ∃n_{0}(x) ∈ ℕ : x ∈ A_{n}∀n ≥ n_{0}(x)}.

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) χ_{lim sup A_{n}} = lim sup_{n→∞} χ_{A_{n}}.

(b) χ_{lim inf A_{n}} = lim inf_{n→∞} χ_{A_{n}}.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws06 07/ana3/ana3.html