UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2006/2007

Blatt 5

Abgabe: Donnerstag, 23.11.2006 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis III WS 06/07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Im Folgenden sei E ein Banachraum.

Aufgabe 1 (10 Punkte) Sei Ω = (X, Σ, μ) ein Maßraum. Zeigen Sie, dass jede beschränkte Borel-messbare Funktion f : X → 𝕂^{N} mit

μ({x ∈ X | f(x) ≠ 0}) < ∞

schon μ-messbar ist und in L^{1}(Ω, 𝕂^{N}) liegt.

Aufgabe 2 (10 Punkte) Sei (X, d) ein metrischer Raum und sei f : X → E stetig. Ferner gebe es eine kompakte Menge K ⊆ X mit f(x) = 0 für alle x ∈ X \ K. Ist μ ein positives Maß auf der σ-Algebra B(X) der Borelmengen von X mit μ(K) < ∞, so ist f ∈ L^{1}(Ω, E) mit Ω = (X, B(X), μ).

Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei Ω = (X, Σ, μ) ein Maßraum, f ∈ L^{1}(Ω, E) und g : X → 𝕂 eine beschränkte Borelmessbare Funktion. Zeigen Sie, dass dann auch fg ∈ L^{1}(Ω, E) gilt.

Aufgabe 4 (10 Punkte) Sei Ω = (X, Σ, μ) ein Maßraum und f ∈ L^{1}(Ω, E). Zeigen Sie, dass es zu jedem ε > 0 eine Menge A ∈ Σ gibt mit μ(A) < ∞ und

∥∫_{X} fdμ − ∫_{A} fdμ∥ < ε.

Hierbei sei ∫_{A} fdμ := ∫_{X} χ_{A}fdμ.

Aufgabe 5* (6 Punkte) Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Es existiert eine nichtendliche σ-Algebra mit abzählbar vielen Elementen.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws06 07/ana3/ana3.html