UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2006/2007

Blatt 6

Abgabe: Donnerstag, 30.11.2006 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis III WS 06/07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (4+4+4=12 Punkte) Sei Ω = (X, Σ, μ) ein Maßraum und sei f : X → [0, ∞] messbar mit ∫_{X} fdμ = c ∈ (0, ∞). Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Für alle α ≥ 1 ist die Funktion

x ↦ n log (1 + \frac{f^{α}}{n^{α}} ) = g_{α,n}

auf X integrierbar.

(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass es eine Konstante c_{α} > 0 gibt mit g_{α,n} ≤ c_{α}f auf ganz X.)

(b) Es gilt

lim_{n→∞} ∫_{X} n log (1 + \frac{f^{α}}{n^{α}} ) dμ = \{ \begin{matrix}c, & für α = 1 \\ 0, & für α > 1 \end{matrix} .

(c) Ist μ(X) < ∞, so ist g_{α,n} ∈ L^{1}(Ω, ℝ) auch für α ∈ (0, 1) und alle n ∈ ℕ, aber in diesem Fall gilt

lim_{n→∞} ∫_{X} n log (1 + \frac{f^{α}}{n^{α}} ) dμ = ∞.

Aufgabe 2 (5+2+5=12 Punkte) Sei Ω = (X, Σ, μ) ein Maßraum und sei f ∈ L^{1}(Ω, ℂ). Man definiert eine Mengenfunktion μ_{f} : Σ → ℂ durch

μ_{f}(A) := ∫_{A} fdμ := ∫_{X} χ_{A}fdμ

für A ∈ Σ.

(a) Zeigen Sie, dass μ_{f} ein sog. komplexes Maß ist, d. h. es gilt μ_{f}(∅) = 0 und

μ_{f} ( ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}) = ∑_{n=1}^{∞} μ_{f}(A_{n})

für jede Folge (A_{n}) paarweise disjunkte Mengen in Σ. Dabei wird die Konvergenz der Reihe mitbehauptet, sie konvergiert sogar absolut.

(b) Jede μ-Nullmenge in Σ ist auch eine μ_{f}-Nullmenge.

Bitte wenden!

(c) Für jede disjunkte Zerlegung X = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n} mit Mengen A_{n} ∈ Σ gilt

∑_{n=1}^{∞} |μ_{f}(A_{n})| ≤ ∥f∥_{1}.

Aufgabe 3 (4+4=8 Punkte) Sei (X, Σ, μ) ein Maßraum und f : X → ℝ eine integrierbare Funktion.

(a) Zeigen Sie, dass es zu jedem ε > 0 ein δ > 0 existiert, so dass für alle A ∈ Σ gilt

μ(A) < δ ⟹ |∫_{A} fdμ| < ε.

(b) Zeigen Sie weiter, dass zu jedem ε > 0 ein A ∈ Σ mit μ(A) < ∞ existiert, so dass für alle B ∈ Σ gilt

B ⊃ A ⟹ |∫_{X} fdμ − ∫_{B} fdμ| < ε.

Aufgabe 4 (4+4=8 Punkte) Bestimmen Sie die folgenden beiden Grenzwerte

(a) lim_{n→∞} ∫_{0}^{n} (1 − \frac{x}{n})^{n} e^{\frac{x}{2}} dx.

(b) lim_{n→∞} ∫_{0}^{n} (1 + \frac{x}{n})^{n} e^{−2x}dx.

Aufgabe 5* (2+5=7 Punkte) Sei f : ℝ → [0, ∞) definiert durch

f(x) = (|n| + 1)^{−2}

für alle x ∈ [n, n + 1), n ∈ ℤ.

(a) Zeigen Sie

f ∈ L^{1}(ℝ) := L^{1}((ℝ, B(ℝ), λ), ℝ).

(b) Für welche α > 0, k ∈ ℕ, ist

g_{α,k} := k log (1 + \frac{f(x)^{α}}{k^{α}} )

in L^{1}(ℝ)?

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws06 07/ana3/ana3.html