UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2006/2007

Blatt 7

Abgabe: Donnerstag, 07.12.2006 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis III WS 06/07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (10 Punkte) Sei I = [a, b), −∞ < a < b ≤ ∞, ein halboffenes Intervall und sei f : I → ℝ eine stetige Funktion. Zeigen Sie:

f ∈ L^{1}(λ |_{I}, ℝ) ⟺ Das uneigentliche (Riemann-) Integral ∫_{a}^{b} |f(x)|dx existiert .

In diesem Fall existiert das uneigentliche Riemann-Integral von f über [a, b) und es gilt

∫_{I} fdλ = ∫_{a}^{b} f(x)dx.

Aufgabe 2 (6+6=12 Punkte) Sei die Funktion f : [0, ∞) → ℝ definiert durch

f(x) = \{ \begin{matrix}\frac{sin x}{x}, & falls x ≠ 0, \\ 1, & falls x = 0. \end{matrix}

(a) Zeigen Sie, dass das uneigentliche Riemann-Integral

∫_{0}^{∞}f(x)dx

existiert.

(b) Zeigen Sie, dass die Funktion f jedoch nicht Lebesgue-integrierbar ist.

Aufgabe 3 (3x2=6 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale:

(a) ∫_{I} (2x + 3y) dλ(x, y), wobei I := [0, 2] × [3, 4].

(b) ∫_{I} (xy + y^{2}) dλ(x, y), wobei I := [0, 1] × [0, 1].

Bitte wenden!

(c) ∫_{I} \frac{x^{2}z^{3}}{1 + y^{2}} dλ(x, y, z), wobei I := [0, 1] × [0, 1] × [0, 1].

Aufgabe 4 (6+6=12 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass das Volumen des Segments eines Paraboloids,

S = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x ∈ [0, h] und y^{2} + z^{2} ≤ \frac{r^{2}x}{h}\}

(r, h > 0) halb so groß wie das Volumen eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h ist.

(b) Sei K ⊆ ℝ^{3} der Durchschnitt der beiden Zylinder

Z_{1} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + z^{2} ≤ 1} und Z_{2} := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : y^{2} + z^{2} ≤ 1} .

Berechnen Sie λ(K).

Aufgabe 5* (4 Punkte) Beweisen Sie Lemma 4.3 der Vorlesung: Ist f ∈ C_{c}(ℝ^{N}), so ist f schon gleichmäßig stetig.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws06 07/ana3/ana3.html