UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2006/2007

Blatt 8

Abgabe: Donnerstag, 14.12.2006 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis III WS 06/07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (4+6=10 Punkte) Für f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) definieren wir die Fouriertransformation f̂: ℝ^{N} → ℂ durch

f̂(x) := ∫_{ℝ^{N}} e^{−2πi<x,y>}f(y)dλ_{N}(y).

Hierbei sei < x, y >= ∑_{j=1}^{N} x_{j}y_{j} für alle x = (x_{1}, …, x_{N}), y = (y_{1}, …, y_{N}) ∈ ℝ^{N}. Zeigen

Sie die folgenden Aussagen:

(a) f̂ ist eine gleichmäßig stetige beschränkte Funktion auf ℝ^{N}.

(b) Berechnen Sie χ̂_{Q} für Q = [a_{1}, b_{1}) × ⋯ × [a_{N}, b_{N}).

Aufgabe 2 (3+4+3=10 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass

C_{∞}(ℝ^{N}) := {f ∈ C(ℝ^{N}) : lim_{|x|→∞} |f(x)| = 0}

ein abgeschlossener Untervektorraum des mit der Supremumsnorm versehenen Banachraumes C_{b}(ℝ^{N}) aller stetigen und beschränkten Funktionen auf ℝ^{N} ist.

(b) Zeigen Sie, dass es zu jeder Funktion f aus C_{c}(ℝ^{N}) und jedem ε > 0 eine Funktion g der Form

∑_{j=1}^{m} a_{j}χ_{Q_{j}}

mit paarweise disjunkten Q_{j} gibt mit ∥f − g∥_{1} < ε.

(c) Zeigen Sie, dass für alle f ∈ L^{1}(ℝ^{N}) gilt

f̂ ∈ C_{∞}(ℝ^{N}).

Aufgabe 3 (4+6=10 Punkte) Durch

Φ : (0, ∞) × (0, 2π) × ℝ → ℝ^{3}, Φ(r, θ, z) := ( \begin{matrix}r cos θ \\ r sin θ \\ z \end{matrix} )

werden die sogenannten Zylinderkoordinaten definiert.

Bitte wenden!

(a) Zeigen Sie, dass Φ ein C^{1}-Diffeomorphismus auf sein Bild ist und berechnen Sie die Jacobi-Determinante.

(b) Berechnen Sie

∫_{K} x^{2}d(x, y, z),

wobei K := {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : 0 ≤ z ≤ sin(x^{2} + y^{2}) und x^{2} + y^{2} ≤ π}.

Aufgabe 4 (5+5=10 Punkte) Berechnen Sie die folgenden Integrale

(a) ∫_{M} (x^{2}y − y^{3}x) dλ(x, y) mit M = {(x, y) ∈ ℝ_{+}^{2} : x^{2} + y^{2} ≤ 1}.

(b) Für welche α ∈ ℝ existiert das Integral

∫_{M} (x^{2} + y^{2} + z^{2})^{α} dλ(x, y, z)

mit M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x^{2} + y^{2} + z^{2} ≤ R^{2}} (R > 0) ?

Aufgabe 5* (4+4=8 Punkte) Für φ, ψ ∈ C_{c}(ℝ^{N}) definieren wir die Faltung φ ∗ ψ von φ und ψ durch

(φ ∗ ψ)(x) = ∫_{ℝ^{N}} φ(x − y)ψ(y)dλ_{N}(y).

Zeigen Sie

(a) φ ∗ ψ = ψ ∗ φ.

(b) supp(φ ∗ ψ) ⊆ supp φ + supp ψ.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws06 07/ana3/ana3.html