UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Marx �

Übungen zur Vorlesung Analysis III

Wintersemester 2006/2007

Blatt 9

Abgabe: Donnerstag, 21.12.2006 von 9.00 bis 9.10 Uhr in HS III, Gebäude E2 5 oder bis 9.10 Uhr in den Briefkasten ’Analysis III WS 06/07’ in Gebäude E2 5 (Untergeschoss)

Aufgabe 1 (6+6=12 Punkte)

(a) Bestimmen Sie das Volumen von

K = {(x, y, z) ∈ [0, π] × ℝ^{2} : y^{2} + z^{2} ≤ sin^{2} x} .

(b) Im ℝ^{3} wird durch die (x, y)-Ebene, den Zylinder x^{2} + y^{2} ≤ 4 und die Fläche z = e^{x^{2}+y^{2}} eine beschränkte Menge K begrenzt. Berechnen Sie das Integral der Funktion

(x, y, z) ↦ y^{2}

über K.

Aufgabe 2 (10 Punkte) Wie groß ist für a ≠ 0 der Flächeninhalt des oberhalb des Kreises x^{2} + y^{2} = ax liegenden Teils der Kugel x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}?

Aufgabe 3 (4+4+4=12 Punkte) Seien f, g ∈ C_{c}(ℝ^{N}). Zeigen Sie die folgenden Aussagen (Bezeichnungen siehe Blatt 8 Aufgabe 1 und 5):

(a) { \atop f ∗ g} = f̂· ĝ.

(b) Für f ∈ C_{c}^{1}(ℝ^{N}) gilt

{ \atop (D_{ν}f)}(ξ) = 2πiξ_{ν}f̂(ξ).

(c) Die Funktionen f̂g und ĝf sind integrierbar und es gilt

∫_{ℝ^{N}} f̂(x)g(x)dλ_{N}x = ∫_{ℝ^{N}} f(y)ĝ(y)dλ_{N}y.

Aufgabe 4 (6 Punkte) Zeigen Sie, dass für jedes beschränkte Intervall I gilt

L^{p}(I) ⊂ L^{1}(I).

Gilt dies auch für unbeschränkte Intervalle?

Bitte wenden!

Aufgabe 5* (4 Punkte) Berechnen Sie das Integral

∫_{M} ye^{x+z}dλ(x, y, z)

mit M = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} : x, y ≥ 0, x^{2} + y^{2} ≤ 1 und |z| ≤ 2}.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

          www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws06 07/ana3/ana3.html