UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 1

Aufgabe 1. In einer Veränderlichen sind die Konvergenzbereiche von Potenzreihen Kreisscheiben in ℂ, die auch ausgeartet sein können zu einem Punkt oder zu ganz ℂ. Die folgenden Beispiele zeigen, daß die Situation in mehreren Veränderlichen komplizierter ist. Geben Sie in den folgenden Fällen an, für welche (z, w) ∈ ℂ^{2} die Potenzreihe

∑_{n=0}^{∞} ∑_{m=0}^{∞} a_{n,m}z^{n}w^{m}

konvergent ist.

(a) a_{n,m} = 1 für alle n, m ∈ ℕ_{0},

(b) a_{n,m} = 2 für n = 0, m ∈ ℕ, a_{n,m} = 3 für m = 0, n ∈ ℕ, a_{n,n} = 1 für alle n ∈ ℕ_{0}, und a_{n,m} = 0 sonst.

Skizzieren Sie die Menge aller (|z|, |w|) ∈ ℝ^{2} mit (z, w) im Konvergenzbereich der Reihe zu (b).

Aufgabe 2. Sei Ω ≠ ℂ eine offene, nicht leere Teilmenge von ℂ. Konstruieren Sie mit Hilfe des Produktsatzes von Weierstraß eine Funktion f ∈ O(Ω), für die gilt: Es gibt keine nicht leeren offenen Teilmengen Ω_{1}, Ω_{2} von ℂ mit mit den folgenden Eigenschaften:

(a) Ω_{1} ⊆ Ω_{2} ∩ Ω,

(b) Ω_{2} ist zusammenhängend und keine Teilmenge von Ω und

(c) es gibt eine Funktion g ∈ O(Ω_{2}) mit f ≡ g auf Ω_{1}.

Anachaulich bedeutet dies: Es gibt eine auf Ω holomorphe Funktion, die sich nirgends über den Rand von Ω hinaus holomorph fortsetzen läßt.

Abgabetermin: Montag, 29.10.2007, vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html

Informationen zum Erwerb eines Leistungsnachweises

Sie können zu dieser Vorlesung einen (benoteten) Leistungsnachweis erwerben. Die Voraussetzungen hierfür sind:

(a) erfolgreiche Teilnahme am Übungsbetrieb, d.h. • ernsthafte Bearbeitung von mindestens 60 % der gestellten Übungsaufgaben,

• mindestens 40 % aller erreichbaren Punkte,

• aktive Mitarbeit in der Übungsgruppe, und

(b) Bestehen der mündlichen Prüfung am Ende des Semesters.