UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie (WS 2007/08)

Blatt 2

Aufgabe 1. Führen Sie den Beweis zu 1.4.(c) der Vorlesung aus.

Aufgabe 2. Für alle z, w ∈ ℂ sei G(z, w) := e^{2zw−w^{2}}.

(a) Zeigen Sie G ∈ O(ℂ^{2}).

(b) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ ℕ_{0} gilt

H_{n}(z) := \frac{∂^{n}G}{∂w^{n}}(z, 0)

ist ein Polynom in z vom Grad n.

(c) Zeigen Sie, dass für alle z ∈ ℂ, n ∈ ℕ die Rekursionsformel

H_{n+1}(z) − 2zH_{n}(z) + 2nH_{n−1}(z) = 0

gilt.

Aufgabe^{∗} 3. (a) Zeigen Sie: H′_{n}(z) = 2nH_{n−1}(z) für alle z ∈ ℂ, n ∈ ℕ. (b) Zeigen Sie: H′_{n}(z) = 2zH_{n}(z) − H_{n+1}(z) für alle z ∈ ℂ, n ∈ ℕ.

(c) Zeigen Sie, dass die Polynome H_{n} der Differentialgleichung

u′′ − 2zu′ + 2nu = 0

genügen.

Abgabetermin: Montag, 05.11.2007 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html