UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 3

Im folgenden sei V := [0, ∞)^{N} (versehen mit der von ℝ^{N} induzierten Relativtopologie) und τ : ℂ^{N} → V die Abbildung

z ↦ (|z_{1}|, …, |z_{N}|) (z = (z_{1}, …, z_{N}) ∈ ℂ^{N}).

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) Eine offene Menge Ω ⊆ ℂ^{N} ist genau dann ein Reinhardt-Körper, wenn Ω = τ^{−1}(W) für eine (relativ) offene Teilmenge von V^{N}.

(b) Ist Ω ⊆ ℂ^{N} ein Reinhardt-Körper, so ist τ(Ω) eine (relativ) offene Teilmenge von V.

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) Jeder nicht leere, vollkommene Reinhardt-Körper ist eigentlich.

(b) Ist (Ω_{α})_{α∈A} eine Familie von vollkommenen, logarithmisch konvexen Reinhardt-Körpern in ℂ^{N}, so ist auch Ω_{0} := int ⋂_{α∈A} Ω_{α} wieder ein vollkommener, logarithmisch konvexer Reinhardt-Körper. Insbesondere gibt es also zu jeder offenen Teilmenge Ω des ℂ^{N} genau einen kleinsten die Menge Ω enthaltenden vollkommenen, logarithmisch konvexen Reinhardt-Körper.

Aufgabe^{∗} 3. Berechnen Sie für 0 < ε < 1 ≤ α den kleinsten vollkommenen, logarithmisch konvexen Reinhardt-Körper Ω_{0} in ℂ^{2}, der die Menge

Ω_{ε,α} := {(z, w) ∈ Δ(0, 1) ; min{|z|, α|w|} < ε}.

enthält. Skizzieren Sie τ(Ω_{ε,α}), τ(Ω_{0}) und log(τ(Ω_{ε,α})), log(τ(Ω_{0})) im Fall α = 2 = ε^{−1}.

Abgabetermin: Montag, 12.11.2007 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html