UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 4

Sind Ω_{1}, Ω_{2} ⊆ ℂ^{N} offen, so heißt eine Abbildung f : Ω_{1} → Ω_{2} biholomorph, falls f bijektiv und f und die Umkehrabbildung f^{−1} : Ω_{2} → Ω_{1} als ℂ^{N}-wertige Funktionen holomorph sind. Mit 𝔹_{N} bezeichnen wir die euklidische Einheitskugel in ℂ^{N} und mit ⟨·, ·⟩ : ℂ^{N} → ℂ das Standardskalrprodukt in ℂ^{N}.

Für 0 ≠ a ∈ ℂ^{N} ist P_{a} : ℂ^{N} → ℂ^{N} mit

P_{a}(z) := \frac{⟨z, a⟩}{|a|^{2}}a für alle z ∈ ℂ^{N}

die orthogonale Projektion von ℂ^{N} auf den eindimensionalen von a erzeugten Untervektorraum LH(a). Die hierzu orthogonale Projektion id_{ℂ^{N}} − P_{a} auf LH(a)^{⊥} bezeichnen wir mit Q_{a}.

Für 0 ≠ a ∈ 𝔹_{N} und alle z ∈ ℂ^{N} mit ⟨z, a⟩ ≠ 1 definieren wir

ϕ_{a}(z) := \frac{a − P_{a}(z) − \sqrt{1 − |a|^{2}}Q_{a}(z)}{1 − ⟨z, a⟩}

und für a = 0 sei ϕ_{0}(z) := −z für alle z ∈ ℂ^{N}.

Aufgabe 1. Sei U ∈ M_{N×N}(ℂ) eine unitäre Matrix und sei a ein Punkt in 𝔹_{N}. Zeigen Sie:

(a) Die durch z ↦ Uz, z ∈ 𝔹_{N}, definierte Abbildung ist biholomorph von 𝔹_{N} auf sich.

(b) Für alle a ∈ 𝔹_{N} ist ϕ_{a} ist auf einer Umgebung von \overline{𝔹_{N}} holomorph und erfüllt ϕ_{a}(a) = 0.

(c) Für alle z, a ∈ 𝔹_{N} gilt ϕ_{a}(Uz) = Uϕ_{U^{∗}a}(z).

Aufgabe 2. Zeigen Sie für alle a, z ∈ 𝔹_{N}:

(a) 1 − |ϕ_{a}(z)|^{2} = \frac{(1 − |a|^{2})(1 − |z|^{2})}{|1 − ⟨z, a⟩|^{2}}.

(b) ϕ_{a} bildet 𝔹_{N} biholomorph auf sich ab. (Hinweis: Berechnen Sie ϕ_{a} ∘ ϕ_{a}.)

Aufgabe^{∗} 3. Wir definieren G_{N} := {U ∘ ϕ_{a}; a ∈ 𝔹_{N}, U : ℂ^{N} → ℂ^{N} unitär}. Zeigen Sie:

(a) G_{N} ist bezüglich der Hintereinanderausführung ∘ eine Gruppe.

(b) G_{N} operiert transitiv auf 𝔹_{N}, d.h. zu je zwei Punkten u, v ∈ 𝔹_{N} gibt es ein ϕ ∈ G_{N} mit ϕ(u) = v.

Abgabetermin: Montag, 19.11.2007 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html