UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 10

Auf diesem Übungsblatt sei Ω ⊆ ℂ^{N} eine offene Menge und f = (f_{1}, …, f_{N}) ∈ O(Ω, ℂ^{N}) eine holomorphe Abbildung von Ω nach ℂ^{N}. Wir definieren

\frac{∂f}{∂z} : Ω → M_{N×N}(ℂ)

durch

\frac{∂f}{∂z} (z) := (\frac{∂f_{j}}{∂z_{k}} (z))_{j,k=1,...,N} , (z ∈ Ω).

\frac{∂f}{∂z} (z) heißt die holomorphe Funktionalmatrix oder Jacobi–Matrix von f im Punkt z ∈ Ω.

Wir schreiben J_{f}^{ℂ}(z) := det (\frac{∂f}{∂z} ) (z) für die zugehörige komplexe Jacobi-Determinante. Für die reelle Jacobi–Determinante von f, betrachtet als Abbildung von Ω als offene Teilmenge von ℝ^{2N} in den ℝ^{2N}, schreiben wir J_{f}^{ℝ}(z) für alle z = (x_{1}, y_{1}, …, x_{N}, y_{N}) ∈ Ω.

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) Ist auch Ω_{1} ⊆ ℂ^{N} offen mit f(Ω) ⊆ Ω_{1} und ist g ∈ O(Ω_{1}, ℂ^{N}), so gilt für alle a ∈ Ω:

\frac{∂(g ∘ f)}{∂z}(a) = \frac{∂g}{∂z} (f(a))\frac{∂f}{∂z} (a) .

(b) Es gilt ∂f_{1} ∧ … ∧ f_{N} = det (\frac{∂f}{∂z} ) dz_{1} ∧ … ∧ dz_{N} auf Ω.

Aufgabe 2. Zeigen Sie J_{f}^{ℝ}(z) = |J_{f}^{ℂ}(z)|^{2} für alle z ∈ Ω.

Aufgabe^{∗} 3. Beweisen Sie die folgende Fassung des Riemannschen Abbildungssatzes mit Hilfe des aus der Funktionentheorie einer Veränderlichen bekannten klassischen Riemannschen Abbildungssatzes:

Ist G = G_{1} × … × G_{N} ein Produkt von einfach zusammenhängenden Gebieten in ℂ, so gibt es ein k ∈ {0, 1, …, N} so, daß G biholomorph äquivalent ist zu 𝔻^{k} × ℂ^{N−k}.

Abgabetermin: Montag, 14.01.2008 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html