UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 11

Auf diesem Übungsblatt sei Ω ⊆ ℝ^{N} eine offene Menge. Eine Funktion f : Ω → [−∞, ∞) heißt von oben halbstetig, falls für alle t ∈ ℝ die Menge f^{−1}([−∞, t) offen in Ω ist. Die Menge der auf Ω von oben halbstetigen Funktionen bezeichnen wir mit USC(Ω).

Aufgabe 1. Sei f ∈ USC(Ω). Zeigen Sie:

(a) ∀w ∈ Ω lim sup_{z→w} f(z) ≤ f(w).

(b) Ist K ⊆ Ω eine kompakte Menge, so ist sup_{z∈K} f(z) < ∞.

(c) Genau dann ist eine reellwertige Funktion g auf Ω stetig, wenn −g, g ∈ USC(Ω) gilt.

Für welche Teilmengen M von Ω ist die charakteristische Funktion χ_{M} von oben halbstetig?

Aufgabe 2. Sei f ∈ USC(Ω) nach oben beschränkt und f ≢ −∞. Wir definieren Funktionen f_{n} : Ω → ℝ, n ∈ ℕ, durch

f_{n}(z) := sup_{ζ∈Ω} f(ζ) − n|ζ − z| .

Zeigen Sie:

(a) f_{n} ∈ C(Ω).

(b) Für alle n ∈ ℕ, z ∈ Ω gilt f(z) ≤ f_{n+1}(z) ≤ f_{n}(z).

Aufgabe^{∗} 3. Zeigen Sie, daß es zu jeder nach oben beschränkten Funktion f ∈ USC(Ω) eine fallende Folge von auf Ω stetigen reellwertigen Funktionen gibt, die auf Ω punktweise gegen f konvergiert.

Abgabetermin: Montag, 21.01.2008 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html