UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 12

Auf diesem Aufgabenblatt sei Ω ⊆ ℂ offen.

Aufgabe 1. Sei u ∈ C^{2}(Ω, ℝ) eine auf Ω harmonische, reellwertige Funktion und sei G eine beliebige einfach zusammenhängende offene Teilmenge von Ω. Zeigen Sie:

(a) Die Funktion 2\frac{∂u}{∂z} besitzt auf G eine komplexe Stammfunktion f ∈ O(G).

(b) Für die Funktion f aus (a) gilt: d Re f ≡ du auf G.

Aufgabe 2. Zeigen Sie: Jede auf Ω harmonische Funktion h ∈ C^{2}(Ω, ℂ) besitzt in Ω die Mittelwerteigenschaft, d.h. Für jedes z ∈ Ω und jedes r > 0 mit \overline{U_{r}(z)} ⊂ Ω gilt

h(z) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} h(z + re^{iφ}) dφ.

Insbesondere gilt also (nach Funktionentheorie 1) für harmonische Funktionen die lokale und die globale Form des Maximumprinzips.

Eine Funktion u : Ω → [−∞, ∞) heißt subharmonisch auf Ω, falls u auf Ω von oben halbstetig ist und falls für jede kompakte Menge K ⊂ Ω und jede auf int K harmonische Funktion h ∈ C(K, ℝ) ∩ C^{2}(int K, ℝ) mit u ≤ h auf ∂K schon u ≤ h auf ganz K gilt.

Aufgabe^{∗} 3. Zeigen Sie:

(a) Ist u auf Ω subharmonisch, so auch cu für alle c > 0.

(b) Ist (u_{α})_{α∈A} eine Familie von auf Ω subharmonischen Funktionen, ist

u(z) := sup_{α∈A} u_{α}(z) < ∞ für alle z ∈ Ω

und ist u auf Ω von oben halbstetig, so ist auch u subharmonisch.

Abgabetermin: Montag, 28.01.2008 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html