UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

�

Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 13

Auf diesem Aufgabenblatt sei Ω ⊆ ℂ offen.

Aufgabe 1. Sei (u_{n})_{n=1}^{∞} eine punktweise monoton fallende Folge subharmonischer Funktionen auf einer offenen Menge Ω ⊆ ℂ. Zeigen Sie, daß dann auch die durch

u(z) := lim_{n→∞} u_{n}(z) (z ∈ Ω)

definierte Funktion u : Ω → [−∞, ∞) auf Ω subharmonisch ist.

Der Poissonkern P : 𝔻 × ∂𝔻 → ℝ ist definiert durch

P (z, ζ) := Re (\frac{ζ + z}{ζ − z} ) (|z| < 1 = |ζ|).

Sei D := D(w, ρ) die offene Kreisscheibe um w ∈ ℂ mit Radius ρ > 0. Für eine Lebesgue– integrierbare Funktion ϕ : ∂D → ℝ definieren wir P_{D}ϕ : D → ℝ durch

P_{D}ϕ(z) := \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} P ((z − w)/ρ, e^{iθ})ϕ(w + ρe^{iθ}) dθ (z ∈ D).

Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) (2π)^{−1} ∫_{0}^{2π} P (z, e^{iθ}) dθ = 1 für alle z ∈ 𝔻.

(b) Für alle ζ_{0} ∈ ∂𝔻, δ > 0, gilt in 𝔻

lim_{z→ζ_{0}}  sup_{ζ∈∂𝔻,|ζ−ζ_{0}|≥δ}P (z, ζ) = 0 .

Aufgabe^{∗} 3. Zeigen Sie, daß mit den obigen Bezeichnungen und Voraussetzungen gilt:

(a) P_{D}ϕ ist auf D harmonisch.

(b) Ist ϕ in einem Punkt ζ_{0} ∈ ∂D stetig, so gilt

lim_{z→ζ_{0}} P_{D}ϕ(z) = ϕ(ζ_{0}).

Hinweis: Überlegen Sie sich zunächst, daß es genügt, die beiden Aussagen im Fall w = 0 und ρ = 1 zu zeigen.

Abgabetermin: Montag, 04.02.2008 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html