UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 14

Aufgabe 1. Sei Ω ⊆ ℂ^{N} offen. Zeigen Sie mit Hilfe des aus der reellen Analysis bekannten Satzes über die Umkehrfunktionen die folgende Variante dieses Satzes für holomorphe Funktionen:

Für eine Abbildung f ∈ O(Ω, ℂ^{N}) und einen Punkt a ∈ Ω sind die beiden folgenden Aussagen äquivalent:

(a) Es gibt Umgebungen U von a und V von f(a), so dass f : U → V biholomorph ist.

(b) det \frac{∂f}{∂z} (a) ≠ 0.

Aufgabe 2. Seien Ω_{1} ⊆ ℂ^{N} und Ω_{2} ⊆ ℂ^{M} offen und sei f ∈ O(Ω_{1} × Ω_{2}, ℂ^{M}). Zeigen Sie unter Verwendeung von Aufgabe 1 die folgende (holomorphe) Fassung des Satzes über implizite Funktionen:

Ist (z_{0}, w_{0}) ∈ Ω_{1} × Ω_{2} mit f(z_{0}, w_{0}) = 0 und gilt

det \frac{∂f}{∂w} (z_{0}, w_{0}) ≠ 0,

so gibt es Umgebungen U ⊆ Ω_{1} von z_{0} und W ⊆ Ω_{2} von w_{0} und eine holomorphe Abbildung φ : U → V mit f(z, φ(z)) ≡ 0 auf Ω_{1} und so, dass für alle (z, w) ∈ U × W mit f(z, w) = 0 gilt w = φ(z).

Aufgabe^{∗} 3. Sei φ : ℂ^{3} → ℂ^{3} definiert durch

φ(z) := (z_{1}, z_{1}z_{2} + z_{3}, z_{1}z_{2}^{2} − z_{2} + 2z_{2}z_{3}) (z = (z_{1}, z_{2}, z_{3}) ∈ ℂ^{3}).

(a) Berechnen Sie die komplexe Jacobi-Determinante

det \frac{∂φ}{∂z}(z) (z = (z_{1}, z_{2}, z_{3}) ∈ ℂ^{3}).

(b) Sei 0 < ε < \frac{1}{2} und sei

G_{ε} := Δ(0, (1 + ε, 1 + ε, ε))

der Polyzylinder um 0 mit dem Polyradius (1 + ε, 1 + ε, ε). Zeigen Sie, dass φ(G_{ε}) offen ist.

Abgabetermin: Montag, 11.02.2008 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html