UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 15

Sei N ≥ 2 und 𝔾_{N} := {(z′, z_{N}) ∈ ℂ^{N} ; z′ ∈ ℂ^{N−1}, Im z_{N} > |z′|^{2}}. Wir definieren

φ(z) := (\frac{z_{1}}{1 + z_{N}} , …, \frac{z_{N−1}}{1 + z_{N}} , i\frac{1 − z_{N}}{1 + z_{N}} ) ((z′, z_{N}) ∈ 𝔹_{N}).

Aufgabe 1. Zeigen Sie, dass φ : 𝔹_{N} → 𝔾_{ℕ} biholomorph ist.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass der topologische Rand von 𝔾_{ℕ} in kanonischer Weise homöomorph ist zu ℍ_{N} := ℂ^{N−1} × ℝ.

Aufgabe^{∗} 3. Zeigen Sie, dass ℍ_{ℕ} versehen mit der durch

(z′, t) · (w′, s) := (z′ + w′, t + s + 2 Im⟨z′, w′⟩)

für alle (z′, t), (w′, s) ∈ ℂ^{N−1}×ℝ definierten Multiplikation eine nicht kommutative Gruppe ist. Hierbei sei ⟨·, ·⟩ das Standard-Skalarprodukt in ℂ^{N−1}.

Abgabetermin: Montag, 18.02.2008 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html