UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

�

Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 5

Ein Polynom p in N komplexen Veränderlichen heißt homogen vom Grad n ∈ ℕ_{0}, falls p(λz) = λ^{n}p(z) für alle λ ∈ ℂ, z ∈ ℂ^{n}.

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) Zu jeder in einer Umgebung Ω von 0 holomorphen Funktion f in N komplexen Veränderlichen gibt es eine eindeutig bestimmte Folge (f_{n})_{n=0}^{∞} von homogenen Polynomen f_{n} vom Grad n, so dass die Reihe ∑_{n=0}^{∞} f_{n} in einer Umgebung U ⊆ Ω von 0 normal konvergiert. Man nennt dies die homogene Entwicklung von f um 0.

(b) Ist f und (f_{n})_{n=0}^{∞} wie in (a) und A : ℂ^{M} → ℂ^{N} eine komplex lineare Abbildung, so ist f ∘ A in einer Umgebung von 0 ∈ ℂ^{M} holomorph und hat die homogene Entwicklung ∑_{n=0}^{∞} f_{n} ∘ A.

(c) Ist f ∈ O(𝔹_{N}), so ist für alle ζ ∈ ∂𝔹_{N} die durch f_{ζ} : λ ↦ f_{ζ}(λ) := f(λζ) definierte Funktion auf der Einheitskreisscheibe 𝔻 in ℂ holomorph. Geben Sie die Potenzreihendarstellung von f_{ζ} mit Hilfe der homogenen Entwicklung von f an.

Aufgabe 2. Sei f ∈ O(𝔹_{N}) mit der homogenen Entwicklung f(z) = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}(z). Zeigen Sie:

(a) Für alle s ∈ ℂ ist die Reihe

(R^{s}f)(z) = ∑_{n=1}^{∞} n^{s}f_{n}(z)

normal in 𝔹^{N} konvergent.

(b) Ist ζ ∈ ∂𝔹_{N} und f_{ζ} wie in der vorhergehenden Aufgabe, so gilt für alle λ ∈ 𝔻:

(Rf)(λζ) = λf′_{ζ}(λ).

Statt R^{1} schreiben wir auch R.

Aufgabe^{∗} 3. Sei f ∈ O(𝔹_{N}). Zeigen Sie:

(a) (Rf)(z) = ∑_{k=1}^{N} z_{k} \frac{∂f}{∂z_{k}} (z) für alle z ∈ 𝔹_{N}.

(b) Für alle Mulitiindizes α ∈ ℕ_{0}^{N} gilt:

∂^{α}Rf − R∂^{α}f = |α|∂^{α}f.

Abgabetermin: Montag, 26.11.2007 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html