UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 7

Auf diesem Aufgabenblatt sei Ω stets eine offene Teilmenge des ℂ^{N}.

Aufgabe 1. Zeigen Sie:

(a) Für alle C^{1}(Ω)-Differentialformen ω auf Ω gilt

dω = ∂ω + \overline{∂}ω .

(b) Für alle C^{2}(Ω)-Differentialformen ω auf Ω gilt

∂(∂ω) = \overline{∂}(\overline{∂}ω) = (∂\overline{∂} + \overline{∂}∂)(ω) = 0 .

Aufgabe 2. Zeigen Sie: Für alle ω ∈ Λ^{r}[C^{1}(Ω)], σ ∈ Λ^{s}[C^{1}(Ω)] gelten die Produktregeln

\begin{aligned}∂(ω ∧ σ) & = (∂ω) ∧ σ + (−1)^{r}ω ∧ ∂σ, \\ \overline{∂}(ω ∧ σ) & = (\overline{∂}ω) ∧ σ + (−1)^{r}ω ∧ \overline{∂}σ. \end{aligned}

Aufgabe^{∗} 3. Ist auch Ω_{1} ⊆ ℂ^{M} offen und ϕ ∈ O(Ω_{1}, ℂ^{N}) mit ϕ(Ω_{1}) ⊆ Ω, so gilt für alle ω ∈ Λ^{r}[C^{1}(Ω)]:

\begin{aligned}∂(ϕ^{∗}(ω)) & = ϕ^{∗}(∂ω), \\ \overline{∂}(ϕ^{∗}(ω)) & = ϕ^{∗}(\overline{∂}ω). \end{aligned}

Abgabetermin: Montag, 10.12.2007 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html