UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 8

Aufgabe 1. Sei A ⊂ ℂ^{N} abgeschlossen. Zwei auf offenen Obermengen U_{f}, U_{g} von A definierte holomorphe Funktionen f : U_{f} → ℂ, g : U_{g} → ℂ heißen äquivalent (f ∼ g), falls es eine offene Menge V mit A ⊂ V ⊆ U_{f} ∩ U_{g} gibt, so dass f ≡ g auf V gilt.

(a) Zeigen Sie, dass “∼” eine Äquivalenzrelation ist. Mit O(A) bezeichnen wir die Menge der Äquivalenzklassen von auf (individuellen) Obermengen von A holomorphen Funktionen. Für eine auf einer offenen Obermenge U_{f} von A holomorphe Funktion f : U_{f} → ℂ sei

[f]_{A} := {g ∈ O(U_{g}) ; U_{g} offen mit A ⊂ U_{g}, g ≡ f auf einer offenen Menge V mit A ⊂ V ⊆ U_{f}∩U_{g}}

die Äquivalenzklasse von f bezüglich ∼.

(b) Seien [f]_{A}, [g]_{A} ∈ O(A) und λ ∈ ℂ. Sind f : U_{f} → ℂ, g : U_{g} → ℂ Elemente von [f]_{A}, bzw. von [g]_{A}, so seien [f]_{A} + [g]_{A}, bzw. [f]_{A} · [g]_{A} bzw. λ[f]_{A} die Äquivalenzklassen der durch h_{+}(z) := f(z) + g(z) bzw. h_{∗}(z) := f(z)g(z) bzw. h(z) := λf(z) definierten Funktionen h_{+}, h_{∗} : U_{f} ∩ U_{g} → ℂ, h : U_{f} → ℂ. Zeigen Sie, dass die hierdurch definierten Operationen der Addition, der Multiplikation und der Multiplikation mit Skalaren wohldefiniert sind und dass O(K) versehen mit diesen Operationen eine ℂ-Algebra ist.

Ist A = {z} für einen Punkt z ∈ ℂ^{N}, so schreiben wir O_{z} statt O({z}) und [f]_{z} statt [f]_{{z}}.

Aufgabe 2. Zeigen Sie, dass O_{z} ein Integritätsbereich ist.

Aufgabe^{∗} 3. Sei Ω ⊆ ℂ^{N} offen und beschränkt, w ∈ Ω und sei f ∈ C(\overline{Ω} \ \{w\}) mit

|f(z)| = O(|z − w|^{1−2N}) für z → w.

Zeigen Sie, dass f auf Ω integrierbar ist.

Abgabetermin: Montag, 18.12.2007 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html