UNIVERSIT”AT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 - MATHEMATIK

Prof. Dr. Ernst Albrecht

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Funktionentheorie 2 (WS 2007/08)

Blatt 9

Aufgabe 1. Sei a ∈ ℂ, r > 0 und f ∈ O(U_{r}(a)) beschränkt, d.h. mit sup_{|z−a|<r} |f(z)| < M für ein M > 0. Zeigen Sie, dass für alle z, w ∈ U_{r}(a) gilt

|f(z) − f(w)| ≤ 2M \frac{|z − w|}{|r^{2} − \overline{(z − a)}(w − a)|} .

Hinweis: Erinnern Sie sich an das Lemma von Schwarz-Pick aus der Funktionentheorie in einer Veränderlichen (Satz 2.21 im Skript zur Funktionentheorie vom SS 2007).

Aufgabe 2. Sei a ∈ ℂ^{N}, r = (r_{1}, …, r_{N}) ∈ (0, ∞)^{N} und sei f : Δ(a, r) → ℂ eine beschränkte, getrennt holomorphe Funktion. Zeigen Sie, dass f dann schon holomorph auf Δ(a, r) ist.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst die Stetigkeit von f auf Δ(a, r). Schreiben Sie hierzu die Differenz f(z) − f(w) als teleskopierende Summe von Differenzen von Ausdrücken, die sich nur in einer Variablen unterscheiden. Warum genügt der Nachweis der Stetigkeit von f?

*** Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins Neue Jahr! ***

Abgabetermin: Montag, 07.01.2008 vor der Vorlesung.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

http://www.math.uni-sb.de/~ag/albrecht/ws07 08/ft2/ft2-ueb.html