Beweis des Satzes von Hartogs über Folgen subharmonischer Funktionen

Satz von Hartogs. Sei Ω ⊆ ℂ offen und sei (f_{n})_{n=1}^{∞} eine auf jeder kompakten Teilmenge von Ω gleichmäßig nach oben beschränkte Folge von auf Ω subharmonischen Funktionen mit

∀z ∈ Ω :  lim sup_{n→∞} f_{n}(z) ≤ C

für eine Konstante C ∈ ℝ. Dann gibt es zu jeder kompakten Teilmenge K von Ω und jedem ε > 0 ein n_{0} ∈ ℕ mit

∀n ≥ n_{0} ∀z ∈ K : f_{n}(z) < C + ε.

Beweis. Sei also K eine beliebige kompakte Teilmenge von Ω und sei ε > 0 beliebig. Dann gibt es eine offene Menge Ω_{1} ⊂ Ω mit kompaktem Abschluß und mit K ⊂ Ω_{1} ⊂ \overline{Ω_{1}} ⊂ Ω. Nach Voraussetzung ist

M := sup_{z∈\overline{Ω_{1}}} < ∞.

Die Funktionen g_{n} := f_{n}−M sind ebenfalls subharmonisch und erfüllen g_{n} ≤ 0 auf Ω_{1}. Sei nun R > 0 mit

K ⊂ Ω_{1,3R} := {z ∈ Ω_{1} ; dist(z, ℂ \ Ω_{1}) > 3R}.

Nach Satz 7.5 der Vorlesung folgt für alle z ∈ K, n ∈ ℕ:

πR^{2}g_{n}(z) ≤ ∫_{D(z,R)} g_{n}(w) dw .

Nach dem Lemma von Fatou gilt für alle z ∈ K:

lim sup_{n→∞} ∫_{D(z,R)} g_{n}(w) dw ≤ ∫_{D(z,R)} lim sup_{n→∞} g_{n}(w) dw ≤ CπR^{2}.

Insbesondere gibt es zu jedem z ∈ K ein k(z) ∈ ℕ mit

∀n ≥ k(z) : ∫_{D(z,R)} g_{n}(w) dw ≤ π(C − M + \frac{ε}{2})R^{2}.

Sei z ∈ K beliebig. Für alle δ ∈ (0, R) und alle ζ ∈ D(z, δ) folgt wegen g_{n} ≤ 0 auf Ω_{1} nach Satz 7.5 für alle n ≥ k(z):

\begin{aligned}π(R + δ)^{2}g_{n}(ζ) & ≤ ∫_{D(ζ,R+δ)} g_{n}(w) dw ≤ ∫_{D(z,R)} g_{n}(w) dw \\ & ≤ π(C − M + \frac{ε}{2})R^{2}. \end{aligned}

Wählen wir also δ > 0 so klein, daß

\frac{(C − M + \frac{ε}{2})R^{2}}{(R + δ)^{2}} < C − M + ε,

so folgt für alle ζ ∈ D(z, δ) und alle n ≥ k(z):

f_{n}(ζ) < C + ε .

Wegen der Kompaktheit von K gibt es endlich viele z_{1}, …, z_{m} ∈ K mit

K ⊂ ⋃_{k=1}^{m} D(z_{k}, δ).

Für alle n ≥ n_{0} := max{k(z_{1}), …, k(z_{m})} und alle ζ ∈ K folgt nun f_{n}(ζ) < C + ε und damit die Behauptung. □