UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 1 Abgabe: Dienstag, 28.10.2008, vor der Vorlesung

Eine auf einem Intervall I ⊂ ℝ definierte reellwertige Funktion heißt bekanntlich konvex, falls für alle x, y ∈ I und alle α ∈ [0, 1] gilt:

f(αx + (1 − α)y) ≤ αf(x) + (1 − α)f(y) .

Die Funktion f heißt strikt konvex, falls für alle x, y ∈ I und alle α ∈ (0, 1) gilt:

f(αx + (1 − α)y) < αf(x) + (1 − α)f(y) .

Eine Funktion f : I → ℝ heißt konkav (bzw. strikt konkav), falls die Funktion −f konvex (bzw. strikt konvex) ist.

Aufgabe 1 (10 Punkte) Zeigen Sie: Ist f ∈ C^{2}(I) mit f′′(x) ≥ 0 (bzw. f′′(x) > 0) für alle x ∈ I, so ist f konvex (bzw. strikt konvex).

Aufgabe 2 (5+5=10 Punkte) Sei f : I → ℝ eine konvexe Funktion. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Für alle x_{1}, …, x_{n} ∈ I und alle α_{1}, …, α_{n} ∈ [0, 1] mit α_{1} + ⋯ + α_{n} = 1 gilt die Jensensche Ungleichung:

(1)  f(α_{1}x_{1} + ⋯ + α_{n}x_{n}) ≤ α_{1}f(x_{1}) + ⋯ + α_{n}f(x_{n}) .

(b) Ist f strikt konvex und sind α_{1}, …, α_{n} > 0 mit α_{1} + ⋯ + α_{n} = 1, so gilt in (1) genau dann das Gleichheitszeichen, wenn x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n} ist.

Aufgabe 3 (5+5=10 Punkte) Sei p > 1, p′ := \frac{p}{p−1} und ω = (ω_{1}, …, ω_{n}) ∈ (0, ∞)^{n}. Zeigen Sie, dass für alle (a_{1}, …, a_{n}), (b_{1}, …, b_{n}) ∈ 𝕂^{n} (𝕂 = ℝ, ℂ) gilt:

(a) |∑_{j=1}^{n} a_{j}b_{j}ω_{j}| ≤ ∑_{j=1}^{n} |a_{j}b_{j}| ω_{j} ≤ (∑_{j=1}^{n} |a_{j}|^{p} ω_{j})^{\frac{1}{p}} (∑_{j=1}^{n} |b_{j}|^{p′} ω_{j})^{\frac{1}{p′}}.

Bitte wenden!

(b) (∑_{j=1}^{n} |a_{j} + b_{j}|^{p}ω_{j})^{\frac{1}{p}} ≤ (∑_{j=1}^{n} |a_{j}|^{p} ω_{j})^{\frac{1}{p}} + (∑_{j=1}^{n} |b_{j}|^{p} ω_{j})^{\frac{1}{p}}.

Wann gilt in diesen beiden Ungleichungen das Gleichheitszeichen?

(Hinweis: Man beachte für (a), dass die Funktion x ↦ x^{p′} strikt konvex und für (b), dass die Funktion x ↦ (1 + x^{1/p})^{p} strikt konkav auf (0, ∞) ist.)

Aufgabe 4 (10 Punkte) Sei f : I → ℝ eine stetige konvexe Funktion und g ∈ C([a, b]) mit g([a, b]) ⊂ I und b − a = 1. Zeigen Sie:

f (∫_{a}^{b} g(x)dx) ≤ ∫_{a}^{b} f(g(x))dx .

Aufgabe 5* (10 Punkte) Seien x_{1}, …, x_{n} ∈ [0, ∞), α_{1}, …, α_{n} > 0 mit α_{1} + ⋯ + α_{n} = 1. Beweisen Sie die Ungleichung für die gewichteten arithmetischen und geometrischen Mittel:

α_{1}x_{1} + ⋯ + α_{n}x_{n} ≥ x_{1}^{α_{1}} ⋯ x_{n}^{α_{n}}

Zeigen Sie, dass das Gleichheitszeichen hierbei genau dann gilt, wenn x_{1} = x_{2} = ⋯ = x_{n} ist.

Allgemeine Informationen

• Punkte aus *-Aufgaben tragen nicht zur maximal erreichbaren Punktzahl bei, werden jedoch, wenn Sie eine solche bearbeiten, wie Punkte aus normalen Aufgaben gewertet. Auf diesem Blatt sind also 40 Punkte = 100%, aber Sie können 50 Punkte erreichen.

• Um für diese Veranstaltung einen Leistungsnachweis zu erwerben, müssen folgende Voraussetzungen erfüllt sein:

(i) erfolgreiche Teilnahme am Übungsbetrieb, d.h

– durchgehende Anwesenheit in den Übungsgruppen; es besteht also Anwesenheitspflicht (außer in begründeten Ausnahmefällen),

– ernsthafte Bearbeitung von mindestens 75 % der Übungsaufgaben,

– mindestens 50 % der möglichen Übungspunkte,

– aktive Mitarbeit in den Übungsgruppen; d.h. Vorstellung der von Ihnen erarbeiteten Lösungen,

und (ii) Bestehen einer Klausur.

Das Bestehen einer Klausur alleine - ohne erfolgreiche Teilnahme an den Übungen - berechtigt nicht zum Erwerb eines Leistungsnachweises! Je nach Teilnehmerzahl wird es eine mündliche Prüfung statt einer Klausur geben.

• Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

           www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html