UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 2 Abgabe: Dienstag, 04.11.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (3+3+3=9 Punkte) Seien (E, ∥ · ∥_{E}) und (F, ∥ · ∥_{F}) zwei normierte 𝕂-Vektorräume. Zeigen Sie die folgenden Aussagen, wobei ∥·∥ = ∥·∥_{L(E,F)} die in der Vorlesung eingeführte Operatornorm bezeichne.

(a) (L(E, F), ∥ · ∥) ist ein normierter 𝕂-Vektorraum.

(b) Ist (F, ∥ · ∥) ein Banachraum, so auch (L(E, F), ∥ · ∥).

(c) Ist (G, ∥·∥_{G}) ein weiterer normierter Raum, so gilt für alle T ∈ L(E, F), S ∈ L(F, G): Es ist ST := S ∘ T ∈ L(E, G) und ∥ST ∥_{L(E,G)} ≤ ∥S∥_{L(F,G)}∥T ∥_{L(E,F)}.

Aufgabe 2 (4x3=12 Punkte) Sei (X, ∥ · ∥) ein normierter Vektorraum. Mit c(X) sei die Menge aller Cauchy-Folgen in X bezeichnet, mit c_{0}(X) die aller Nullfolgen in X.

(a) Zeigen Sie, dass c(X) ein normierter Raum ist bezüglich der sup-Norm und dass c_{0}(X) ein abgeschlossener Untervektorraum davon ist.

(b) Zeigen Sie, dass die Quotientennorm auf X̂ := c(X)/c_{0}(X) gegeben ist durch

∥(x_{n})_{n} + c_{0}(X)∥_{Q} = lim sup_{n→∞} ∥x_{n}∥.

(c) Zeigen Sie, dass (X̂, ∥ · ∥_{Q}) vollständig ist.

(d) Betten Sie X isometrisch in X̂ ein und zeigen Sie, dass X durch diese Einbettung dichter Teilraum von X̂ ist.

Aufgabe 3 (3+4+3+3=13 Punkte) Sei 𝔻 die offene Einheitskreisscheibe in ℂ. Der Hardy-Raum H^{2}(𝔻) ist definiert als

H^{2}(𝔻) := \{f ∈ O(𝔻)| ∥f∥_{H^{2}(𝔻)} := sup_{0≤r<1} (\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}|f(re^{it})|^{2} dt)^{\frac{1}{2}} < ∞\} .

Zeigen Sie:

(a) Mit ∥f∥_{H^{2}(𝔻)} := sup_{0≤r<1} \sqrt{\frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}|f(re^{it})|^{2} dt} ist eine Norm auf H^{2}(𝔻) gegeben.

Bitte wenden!

(b) Ist f(z) = ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} eine Funktion in O(𝔻), dann ist f ∈ H^{2}(𝔻) genau dann, wenn

∑_{k=0}^{∞} |a_{k}|^{2} < ∞ ist, und in diesem Fall ist ∥f∥_{H^{2}(𝔻)}^{2} = ∑_{k=0}^{∞} |a_{k}|^{2}.

(Hinweis: Cauchy-Produkt von Reihen.)

(c) Folgern Sie aus (b) die Vollständigkeit von (H^{2}(𝔻), ∥ · ∥_{H^{2}(𝔻)}).

(d) Zu jedem z_{0} ∈ 𝔻 existiert ein C(z_{0}) > 0, so dass |f(z_{0})| ≤ C(z_{0})∥f∥_{H^{2}(𝔻)} für alle f ∈ H^{2}(𝔻).

Aufgabe 4+5* (3+3+5*=6+5* Punkte) Seien a, b ∈ ℝ mit a < b und sei für f : [a, b] → ℝ die totale Variation V (f) definiert durch

V (f) = sup_{Z} ∑_{ν=1}^{n} |f(t_{ν}) − f(t_{ν−1})|;

hierbei durchläuft Z alle Zerlegungen a = t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{n} = b, n ∈ ℕ, des Intervalls [a, b]. Sei

BV [a, b] = {f : [a, b] → ℝ | V (f) < ∞}

die Menge der Funktionen von beschränkter Variation auf [a, b]. Auf BV [a, b] werde ∥·∥_{BV} definiert durch

∥f∥_{BV} = |f(a)| + V (f) (f ∈ BV [a, b]).

Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) (BV [a, b], ∥ · ∥_{BV}) ist ein normierter Vektorraum.

(b) Für f ∈ BV [a, b] ist ∥f∥_{∞} := sup_{t∈[a,b]} |f(t)| < ∞ und ∥f∥_{∞} ≤ ∥f∥_{BV}.

(c)* (BV [a, b], ∥ · ∥_{BV}) ist vollständig, (BV [a, b], ∥ · ∥_{∞}) hingegen nicht. (Hinweis: Benutzen Sie, dass {f : [a, b] → ℝ | ∥f∥_{∞} < ∞} versehen mit ∥ · ∥_{∞} ein vollständiger normierter Raum ist.)

Informationen zur Übung

• Die Übung zur Vorlesung findet donnerstags von 12 bis 14 Uhr in SR 3 statt und startet diese Woche (30.10.2008).

• Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

           www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html