UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 3 Abgabe: Dienstag, 11.11.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (5+5=10 Punkte)

(a) Sei (H, ∥ · ∥) ein normierter Raum über 𝕂, für den die Parallelogrammgleichung

∥x + y∥^{2} + ∥x − y∥^{2} = 2(∥x∥^{2} + ∥y∥^{2})

für alle x, y ∈ H gilt. Zeigen Sie, dass durch

⟨x, y⟩ := \{ \begin{matrix}\frac{1}{4} (∥x + y∥^{2} − ∥x − y∥^{2}) & falls 𝕂 = ℝ \\ \frac{1}{4} (∥x + y∥^{2} − ∥x − y∥^{2} + i∥x + iy∥^{2} − i∥x − iy∥^{2}) & falls 𝕂 = ℂ \end{matrix}

ein Skalarprodukt auf H definiert wird mit ∥ · ∥ = ⟨·, ·⟩^{\frac{1}{2}} .

(b) Sei (H, ⟨ , ⟩) ein Prä-Hilbertraum und seien (x_{n})_{n∈ℕ} und (y_{n})_{n∈ℕ} zwei Folgen aus der Einheitskugel von H mit der Eigenschaft ⟨x_{n}, y_{n}⟩ → 1 für n → ∞. Zeigen Sie, dass dann ∥x_{n} − y_{n}∥ → 0 für n → ∞.

Aufgabe 2 (10 Punkte) Zeigen Sie, dass der in der Vorlesung in Beispiel 1.4 (c) eingeführte Raum ℓ^{p}(I) vollständig ist.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei (E_{n})_{n∈ℕ} eine Folge von Banachräumen. Zeigen Sie, dass

E = {(x_{n})_{n∈ℕ} : x_{n} ∈ E_{n} für alle n ∈ ℕ und ∑_{n=0}^{∞} ∥x_{n}∥ < ∞}

ein Banachraum ist bzgl. der Norm

∥(x_{n})_{n∈ℕ}∥ = ∑_{n=0}^{∞} ∥x_{n}∥.

Aufgabe 4 (6+4=10 Punkte)

(a) Sei E ein Banachraum und F ein endlichdimensionaler Unterraum. Zeigen Sie, dass es zu jedem x ∈ E \ F ein y ∈ F gibt mit ∥x − y∥ = inf{∥x − u∥, u ∈ F }. Man nennt y die Bestapproximation zu x.

Bitte wenden!

(b) Bestimmen Sie alle Bestapproximationen zu (0, 1) aus F := {(z, 0), z ∈ ℂ} in ℂ^{2} versehen mit der Supremumsnorm ∥ · ∥_{∞}.

Ein metrischer Raum E heißt separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt, d.h. falls es eine abzählbare Teilmenge A von E gibt, so dass jedes Element von E Grenzwert einer Folge von Elementen aus A ist.

Aufgabe 5* (6 Punkte) Zeigen Sie, dass ein normierter Raum E genau dann separabel ist, wenn es eine abzählbare Menge A gibt, so dass E gleich dem Abschluss der linearen Hülle von A ist.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html