UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 4 Abgabe: Dienstag, 18.11.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (5+5=10 Punkte) Betrachten Sie zu λ ∈ ℝ die Funktion

f_{λ} : ℝ → ℂ, f_{λ}(x) := e^{iλx}.

(a) Zeigen Sie, dass auf X := LH {f_{λ}, λ ∈ ℝ} durch

< f, g >:= lim_{T →∞} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} f(x)\overline{g(x)}dx

ein Skalarprodukt gegeben ist.

(b) Zeigen Sie, dass X nicht separabel ist.

(Hinweis: Betrachten Sie f_{λ}, f_{μ} mit λ ≠ μ.)

Aufgabe 2 (5+5=10 Punkte) Sei G ⊂ ℂ ein Gebiet und sei 1 ≤ p < ∞. Der Bergman-Raum A^{p}(G) sei der Raum aller auf G holomorphen Funktionen f auf G, für die gilt

∥f∥_{p} := ( ∫_{G} |f(z)|^{p} dλ(z))^{1/p} < ∞.

Hierbei sei λ das ebene Lebesguemaß.

(a) Mit δ(z) := inf{|z − w|, w ∉ G} ∈ (0, ∞] für alle z ∈ G gilt für f ∈ A^{p}(G), z ∈ G und 0 < R < δ(z)

(i)  f(z) = \frac{1}{πR^{2}} ∫_{|z−ζ|<R} f(ζ) dλ(ζ),
(ii) |f(z)| ≤ \frac{1}{(πδ(z)^{2})^{1/p}} ∥f∥_{A^{p}(G)}.

(b) Zeigen Sie, dass (A^{p}(G), ∥ · ∥_{p}) ein Banachraum ist.

Bitte wenden!

Aufgabe 3 (4+3+3=10 Punkte) Auf dem Raum ℓ^{2}(ℕ_{0}) der komplexwertigen, quadratsummierbaren Folgen versehen mit

dem Skalarprodukt ⟨(x_{n}), (y_{n})⟩_{ℓ^{2}} = ∑_{n=0}^{∞} x_{n}\overline{y_{n}} betrachte man den Operator

S : ℓ^{2}(ℕ_{0}) ⟶ ℓ^{2}(ℕ_{0}), (x_{0}, x_{1}, x_{2}, …) ↦ (0, x_{0}, x_{1}, …),

den sog. Rechtsshift.

(a) Zeigen Sie, dass S eine Isometrie ist. Ist S (links-, rechts-)invertierbar, und wenn ja, wie sieht die (Links-, Rechts-)Inverse aus?

(b) Zeigen Sie, dass Bild S abgeschlossen ist und Kodimension 1 in ℓ^{2}(ℕ_{0}) hat.

(c) Existiert der Grenzwert lim_{n→∞}⟨S^{n}x, y⟩ für alle x, y ∈ ℓ^{2}(ℕ_{0})?

Aufgabe 4 (10 Punkte) Sei H ein unendlichdimensionaler Hilbertraum. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) H hat die Hilbertraumdimension ℵ_{0}.

(ii) H ist separabel.

Aufgabe 5* (5 Punkte) Bestimmen Sie Orthonormalbasen von A^{2}(𝔻).

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html