UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 5 Abgabe: Dienstag, 25.11.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (3+4+6=13 Punkte) Sei G eine Menge und sei (H, ⟨·, ·⟩_{H}) ein Hilbertraum von ℂ-wertigen Funktionen auf G. Eine Abbildung K : G × G ⟶ ℂ heißt reproduzierender Kern von H, wenn gilt

(i) die Abbildung K_{y} : G ⟶ ℂ, x ↦ K(x, y) ist ein Element von H für alle y ∈ G.

(ii) f(y) = ⟨f, K_{y}⟩_{H} für alle f ∈ H und alle y ∈ G.

Zeigen Sie:

(a) Ist K ein reproduzierender Kern von H, so gilt:

|f(y)| ≤ ∥f∥_{H} \sqrt{K(y, y)} für alle y ∈ G, f ∈ H.

(b) Es gibt genau dann einen reproduzierenden Kern K von H, wenn für alle x ∈ G die Abbildung δ_{x} : H ⟶ ℂ, f ↦ f(x) stetig ist.

(c) Vermöge ⟨f, g⟩ := ∫_{B_{r}(0)} f(z)\overline{g(z)} dz wird der Bergmann-Raum A^{2}(B_{r}(0)) zu einem Hilbertraum (siehe Aufgabe 2 von Blatt 4). Zeigen Sie, dass

K : B_{r}(0) × B_{r}(0) ⟶ ℂ, (ζ, z) ↦ \frac{r^{2}}{π(r^{2} − z̄ζ)^{2}}

ein reproduzierender Kern von A^{2}(B_{r}(0)) ist.

Aufgabe 2 (3+5=8 Punkte) Sei H ein reeller Hilbertraum und sei T : H → H eine surjektive nicht notwendig lineare Abbildung mit T (0) = 0 und ∥T x − T y∥ = ∥x − y∥ für alle x, y ∈ H. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) ⟨T x, T y⟩ = ⟨x, y⟩ für alle x, y ∈ H.

(b) Ist (e_{i})_{i∈I} eine Orthonormalbasis von H, so ist auch (T e_{i})_{i∈I} eine Orthonormalbasis von H.

Bitte wenden!

Aufgabe 3 (10 Punkte) Sei H ein Hilbertraum und P und Q Orthogonalprojektionen auf H. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) P − Q ist Orthogonalprojektion

(ii) ∥P x∥ ≥ ∥Qx∥ für alle x ∈ H

(iii) Bild Q ⊂ Bild P

(iv) P Q = Q

(v) QP = Q.

Aufgabe 4 (3+6=9 Punkte) Für f ∈ L^{2}([0, 1]) und x ∈ [0, 1] definieren wir

(V f)(x) := ∫_{0}^{x} f(t)dt.

(a) Zeigen Sie, dass die oben definierte Abbildung V linear und stetig von L^{2}([0, 1]) in sich ist.

(b) Berechnen Sie den zu V adjungierten Operator.

Aufgabe 5* (6 Punkte) Sei S ∈ L(ℓ^{2}(ℕ_{0})) der Rechtsshift aus Aufgabe 3 von Blatt 4. Berechnen Sie den zu S adjungierten Operator S^{∗} sowie die Operatoren S^{∗}S und SS^{∗}.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html