UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 6 Abgabe: Dienstag, 02.12.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (12 Punkte) Zeigen Sie, dass es stetige Funktionen auf [0, 1] gibt, die an keiner Stelle differenzierbar sind. (Hinweis: Betrachten Sie ⋂_{n=1}^{∞} E_{n} mit

E_{n} := \{f ∈ C[0, 1] : sup_{0<|h|≤1/n} |\frac{f(t + h) − f(t)}{h}| > n für alle t ∈ [0, 1]\}) .

Aufgabe 2 (12 Punkte) Wir betrachten eine Folge (S_{n})_{n∈ℕ} numerischer Quadraturformeln auf dem Intervall [a, b],

S_{n} : C[a, b] ⟶ ℂ, f ↦ ∑_{i=0}^{n} a_{i}^{(n)}f(x_{i}^{(n)}).

Hierbei seien die x_{i}^{(n)} paarweise verschiedene Punkte im Intervall [a, b], die sog. Stützstellen, mit a ≤ x_{1}^{(n)} < ⋯ < x_{n}^{(n)} ≤ b, und die Gewichte a_{i}^{(n)} komplexe Zahlen. Beweisen Sie den folgenden Satz von Szegö: Genau dann gilt für alle f ∈ C[a, b]

(1)  lim_{n→∞} S_{n}(f) = ∫_{a}^{b} f(x) dx,

wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

(i) Es gibt eine dichte Teilmenge P von C[a, b], so dass (1) für alle Funktionen aus P gilt.

(ii) sup_{n∈ℕ} ∑_{i=0}^{n} |a_{i}^{(n)}| < ∞.

(Hinweis: Zeigen Sie, dass S_{n} stetig und linear ist und berechnen Sie ∥S_{n}∥.)

Aufgabe 3 (5+5=10 Punkte) Die Bezeichnungen seien wie in Aufgabe 2.

(a) Sei nun a_{i}^{(n)} > 0 für alle n ∈ ℕ und 0 ≤ i ≤ n. Zeigen Sie, dass

(2)  lim_{n→∞} S_{n}(f) = ∫_{a}^{b} f(x)dx

genau dann für alle f ∈ C[a, b] gilt, wenn (2) für alle Polynome gilt.

Bitte wenden!

(b) Bei der summierten Trapezregel verwendet man die Stützstellen x_{i}^{(n)} := a + i\frac{b−a}{n}, i = 0, …, n und

S_{n}(f) := \frac{b − a}{n} (\frac{f(a) + f(b)}{2} + ∑_{i=1}^{n−1} f(x_{i}^{(n)})) .

Zeigen Sie, dass (2) für alle f ∈ C[a, b] erfüllt ist.

Aufgabe 4 (6 Punkte) Kann im Satz von der gleichmäßigen Beschränktheit (Satz 4.4) auf die Vollständigkeit des Raumes E verzichtet werden? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 5* (6 Punkte) Zeigen Sie, dass es keine Folge (A_{n})_{n∈ℕ} von abgeschlossenen Mengen in ℝ gibt mit

ℝ \ ℚ = ⋃_{n=1}^{∞} A_{n}.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html