UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 8 Abgabe: Dienstag, 16.12.2008, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (10 Punkte) Seien E und F zwei Banachräume und sei T : E → F ein stetiger linearer Operator, so dass dim F/T (E) =: N < ∞ gilt, d. h. so dass das Bild von T von endlicher Kodimension in F ist. Zeigen Sie, dass in diesem Fall das Bild von T abgeschlossen ist. (Hinweis: Man beachte, dass T (E) einen algebraischen Komplementärraum der Dimension N besitzt.)

Aufgabe 2 (9 Punkte) Seien E, F Banachräume und sei T ein surjektiver Operator in L(E, F). Zeigen Sie, dass eine Konstante c > 0 existiert, so dass für jedes y ∈ F ein x ∈ E existiert mit T x = y und ∥x∥ ≤ c∥y∥.

Aufgabe 3 (10 Punkte) Die Vektorräume C[0, 1] und C^{1}[0, 1] seien beide mit der sup-Norm versehen. Zeigen Sie, dass der Operator

A : C^{1}[0, 1] → C[0, 1], f ↦ f′

abgeschlossenen Graphen hat und unstetig ist. Ist das ein Widerspruch zum Satz vom abgeschlossenen Graphen?

Aufgabe 4 (5+6=11 Punkte)

(a) Zeigen Sie, dass in jedem normierten Raum X gilt:

∥x∥ = sup{|φ(x)|; φ ∈ X′, ∥φ∥ ≤ 1}.

(b) Ist X ein normierter Raum und U ein Untervektorraum, so sind äquivalent:

(i) U liegt dicht in X.

(ii) Falls φ ∈ X′ und φ|_{U} = 0, so gilt φ = 0.

Aufgabe 5* (8 Punkte) Sei H ein Hilbertraum und T : H → H eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass

⟨T x, y⟩ = ⟨x, T y⟩

für alle x, y ∈ H gilt. Zeigen Sie, dass T stetig und folglich selbstadjungiert ist.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html