UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 9 Abgabe: Dienstag, 06.01.2009, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (6+6=12 Punkte) Sei X ein Banachraum und M ein Unterraum von X. Der Annihilator M^{⊥} von M ist definiert als

M^{⊥} := {φ ∈ X′; φ(x) = 0 für alle x ∈ M} ⊂ X′.

Sei nun M ein abgeschlossener Unterraum von X. Zeigen Sie:

(a) Die Abbildung

s : M′ → X′/M^{⊥}, s(ψ) := φ + M^{⊥},

mit einer Hahn-Banach Fortsetzung φ von ψ auf X, ist ein isometrischer Isomorphismus von M′ auf X′/M^{⊥}, wenn X′/M^{⊥} mit der Quotientennorm versehen ist.

(b) Sei π : X → X/M die Quotientenabbildung. Dann ist die Abbildung

t : (X/M)′ → M^{⊥}, t(φ) := φ ∘ π

ein isometrischer Isomorphismus von (X/M)′ auf M^{⊥}.

Aufgabe 2 (10 Punkte) Seien X und Y Banachräume und sei T ∈ L(X, Y). Weiter existiere eine Konstante c > 0 mit c∥y′∥ ≤ ∥T′y′∥ für alle y′ ∈ Y′. Zeigen Sie, dass T dann offen ist.

Aufgabe 3 (12 Punkte) Zeigen Sie, dass jeder Banachraum E topologisch isomorph zu einem Quotienten eines ℓ^{1}(I)-Raumes nach einem abgeschlossenen Unterraum ist. (Hinweis: Wählen Sie I = {x ∈ E : ∥x∥ ≤ 1}.)

Aufgabe 4+5* (6+6* Punkte) Sei X ein normierter Raum. Mit X′′ bezeichnet man den Dualraum von X′, er wird Bidual von X genannt.

(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung

i : X → X′′, (i(x))(φ) := φ(x)

eine lineare Isometrie ist.

Bitte wenden!

Die Abbildung i ist i.a. nicht surjektiv. Ein Banachraum heißt reflexiv, falls die Abbildung i surjektiv ist.

(b)* Zeigen Sie, dass abgeschlossene Unterräume reflexiver Räume wieder reflexiv sind.

Wir wünschen Ihnen frohe Weihnachten und einen guten Rutsch ins neue Jahr!