UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 – MATHEMATIK Prof. Dr. Ernst Albrecht Dipl.-Math. Natalie Didas �

Übungen zur Vorlesung Funktionalanalysis I

Wintersemester 2008/2009

Blatt 10 Abgabe: Dienstag, 13.01.2009, vor der Vorlesung

Aufgabe 1 (9 Punkte) Zeigen Sie, dass jeder Banachraum isometrisch in

ℓ^{∞}(I) := {(x_{i})_{i∈I} ; x_{i} ∈ ℂ, ∥(x_{i})_{i∈I}∥_{∞} := sup_{i∈I} |x_{i}| < ∞}

eingebettet werden kann für eine geeignete Indexmenge I.

Aufgabe 2 (5+5=10 Punkte) Sei U ⊂ ℂ offen, X ein komplexer Banachraum und f : U → X eine Funktion. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Ist f holomorph, so ist f auch schwach holomorph.

(b) Ist f : ℂ → X eine beschränkte holomorphe Funktion, so ist f konstant.

(Hinweis: Wir nennen eine Funktion f : U → X schwach holomorph, wenn für alle x ∈ X′ die Abbildung x ∘ f : U → X holomorph ist. Die Funktion f heißt holomorph, falls für alle z_{0} ∈ U der Grenzwert lim_{z→z_{0}} \frac{f(z)−f(z_{0})}{z−z_{0}} existiert.)

Aufgabe 3 ((4+4)+4=12 Punkte) Untersuchen Sie in den folgenden Fällen, ob die Unterräume I und J der kommutativen Banachalgebra R abgeschlossene, maximale oder modulare Ideale sind.

(a) R = C_{0}(ℝ) = {f ∈ C(ℝ) | f(t) → 0 bei t → ∞}, versehen mit der sup-Norm,

I := {f ∈ C_{0}(ℝ) | f(2009) = 0},
J := {f ∈ C^{∞}(ℝ) | suppf ist kompakt}.

(b) R = C_{b}(ℝ) := {f ∈ C(ℝ) | sup_{t∈ℝ}|f(t)| < ∞}, versehen mit der sup-Norm,

I := {f ∈ C_{b}(ℝ) | lim_{x→∞} f(x) = 0}.

Aufgabe 4 (9 Punkte) Zeigen Sie, dass der Banachraum ℓ^{1}(ℤ) vermöge

[(x_{n})_{n∈ℤ} ∗ (y_{n})_{n∈ℤ}]_{k} := ∑_{n∈ℤ}x_{n}y_{k−n} (k ∈ ℤ)

eine kommutative Banachalgebra mit Eins ist.

Bitte wenden!

Aufgabe 5* (5 Punkte) Zeigen Sie, dass ein Banachraum X genau dann reflexiv ist, wenn X′ reflexiv ist.

Die Übungsblätter finden Sie auch im Netz unter

         www.math.uni-sb.de/~ag-albrecht/ws08 09/fa1/uebungen.html